Интеграли

[west234]

Здравейте. Имам нужда от малко помощ с един интеграл. Занимавах се с него цял ден и не можах да го реша.

[Knowledge Greedy]

Да разкрием скобите под квадратния радикал в знаменателя
[tex]I =\int \frac{xdx}{\sqrt{(-x^4+(b^2-a^2)x^2-a^2b^2)}}[/tex]

Да отделим квадрат
[tex]I =\int \frac{xdx}{\sqrt{-\left [ x^4-2\frac{a^2+b^2}{2}x^2+ \left (\frac{a^2+b^2}{2} \right )^2 \right ]+ \left (\frac{a^2+b^2}{2} \right )^2-a^2b^2}}[/tex]

Дотук [tex]I= \int \frac{xdx}{\sqrt{\left ( \frac {a^2-b^2}{2} \right )^2-\left (x^2- \frac{a^2+b^2}{2} \right )^2}}[/tex]

[tex]I= \frac{1}{2} \int \frac{dx^2}{\sqrt{\left ( \frac {a^2-b^2}{2} \right )^2-\left (x^2- \frac{a^2+b^2}{2} \right )^2}}[/tex]


[tex]I= \frac{1}{2} \int \frac{d\left (x^2- \frac{a^2+b^2}{2} \right )}{\sqrt{\left ( \frac {a^2-b^2}{2} \right )^2-\left (x^2- \frac{a^2+b^2}{2} \right )^2}}[/tex]

и след полагане [tex]\frac{x- \frac{a^2+b^2}{2} }{\frac {a^2-b^2}{2}} \,\ = \,\ t[/tex]

се получава [tex]I=\frac {1}{a^2-b^2} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac {1}{a^2-b^2}arcsin t +C[/tex]

Връщаме полагането и получаваме резултата чрез аргумента [tex]x[/tex].
_____________
Ако не сме предположили, че [tex]a^2>b^2[/tex], се налага множителят изнесен от корена да е в модулни скоби.

[west234]

Благодаря ви помогнахте ми много. А само да попитам този интеграл може ли да се реши чрез внасяне под знака на диференциала ?

[kmitov]

Един хубав уточняваш въпрос, който показва какво разбира питащия от написаните по-горе сметки. Браво.

[Knowledge Greedy]

Въпросът наистина може да ни доведе до отчаяние , но навярно west234 наистина не е осведомен и има причина едва сега да научи отговора Да опитаме.

... този интеграл може ли да се реши чрез внасяне под знака на диференциала ?

Ако за функцията [tex]f(x)[/tex], която интегрираме [tex]\int f(x)dx[/tex], сме забелязали,
че е производна на някаква функция [tex]F(x)[/tex], т.е.
[tex]f(x)=F'(x)[/tex]

тогава интегралът [tex]\int f(x)dx[/tex] може да се запише така [tex]\int F'(x) dx[/tex]

и още така [tex]\int dF(x)[/tex]

Казваме, че сме внесли [tex]f(x)[/tex] под знака на диференциала.
Задачата е вече решена [tex]\int f(x)dx=\int dF(x)=F(x)+C[/tex]
____________
По-често обаче забелязваме, че само част от функцията може да се внесе под знака на диференциала. Виж внимателно третия ред на решението на задачата, която поиска. Там [tex]x[/tex] е внесен под знака на диференциала и кратко това изглежда така
[tex]xdx=\frac{1}{2}dx^2[/tex]
____________
Погледни всеки от табличните интеграли. Във всеки от тях е направено точно това.
[tex]cosxdx=dsinx[/tex]

[tex]\frac{1}{x}dx=d(lnx)[/tex]

[tex]\frac{1}{1+x^2}dx=d(arctgx)[/tex]

[tex]x^ndx=d \left ( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right )[/tex]

[west234]

Само една подробност в задачата изпуснах и тя е че b>a>0, a<x<b. Това променя ли нещата ?

[Knowledge Greedy]

Случайно се оказва, че не променя. Отговорът вече е [tex]I=\frac{1}{b^2-a^2}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}= \frac{1}{b^2-a^2} arcsint+C[/tex], но при обратното полагане [tex]t=\frac{2x-a^2-b^2}{b^2-a^2}[/tex]
и се получава същото
[tex]I=\frac{1}{a^2-b^2} arcsin \left ( \frac{2x-a^2-b^2}{a^2-b^2} \right )+C[/tex]

[west234]

Благодаря за решението. Всъщност този интеграл е от един сборник и отговора е:
Но, ще приема и това решение явно този интеграл може да, се реши по няколко начина.