Система уравнения (вероятно краен резултат)

[ins-]

Да се реши системата:
$\begin{cases}2x^2y+3y^2z+6z^2x=80 \\ xy^2+2yz^2+3zx^2=43 \\ xyz=6\end{cases}$

[ins-]

Системата не е нещо кой знае колко сериозно. Решава се по сходен начин на някои от останалите системи, които пуснах. Без да забележа нещо очевидно минах, докато я решавах през система, подобна на: [tex]3x+2y+6z=19[/tex], [tex]xy+2yz+3zx=19[/tex], [tex]xyz=6[/tex], която също не е нещо кой знае какво, но има красиво решение.

[pal702004]

Системата не е нещо кой знае колко сериозно. Решава се по сходен начин на някои от останалите системи, които пуснах. Без да забележа нещо очевидно минах, докато я решавах през система, подобна на: [tex]3x+2y+6z=19[/tex], [tex]xy+2yz+3zx=19[/tex], [tex]xyz=6[/tex], която също не е нещо кой знае какво, но има красиво решение.

За да не си пишем двама българи на руски форум на английски език ще го напиша тук на български:
$3x=a,\;2y=b,\;6z=c$
Системата придобива вид

$\begin{cases} a+b+c=19\\ab+bc+ca=6\cdot 19\\abc=36\cdot 6 \end{cases}$
Или, $a,b,c$ са корените на уравнението

$t^3-19t^2+114t-216=0$ които са си направо цели: $(4,6,9)$
С пермутациите - 6 решения.
На стартовата система също са 6 реалните решения, освен $x=3,y=2,z=1$ другите са произведения на рационални степени на 2 и 3

[ins-]

Да, това е идеята. Аз бях тръгнал с едни други полагания и си мислех, че е по-сложна, затова я пуснах, но си има и добрите страни - забелязах и друга система:
[tex]3x+2y+6z=19[/tex]
[tex]xy+2yz+3zx=19[/tex]
[tex]xyz=6[/tex]
тя е лесна и приятна, но ако се заблее човек - може и да не види решението.

[ins-]

Бях тръгнал да повдигам второто уравнение на квадрат (и така излиза) и не забелязах какво става, като се умножат първото и третото уравнение.