Весела система

[ins-]

Да се реши системата:
$\begin{cases}\frac{1}{x+y}+x+y+z=2 \\ \frac{2}{y+z}+x+y+z=3 \\ \frac{3}{z+x}+x+y+z=4\end{cases}$

[darinalazarova73]

Изваждаме уравненията и получаваме:
1/(х+у)-2/(у+z)=-1
1/(х+у)-3/(х+z)=-2
2/(у+z)-3/(х+z)=-1
полагаме х+у=а;х+z=в;у+z=c и опростяваме
с-2.а=-ас
в-3а=-2ав
2в-3с=-вс
от първото а=с/(2-с)
заместваме и опростяваме;получаваме
вс+2в-3с=0
вс+2в-3с=0
Това е едно и също ур-е с 2 неизвестни,следователно няма решение!
Тогава няма решение и първоначалната задача.

Това ли е отговорът?

[ins-]

Не

[Davids]

Ако положим [tex]\begin{array}{|l} x + y = a \\ y + z = b \\ x + z = c \end{array}[/tex], то решение на системата е наредената тройка:
[tex](a; b = \frac{2a}{1 + a}; c = \frac{3a}{1 + 2a})[/tex]
Оттам нататък какво правим, не ми е много ясно Все стигам до варианти, в които или всичко се съкращава, или резултатът изглежда така:
[tex]x^3 - x^2 + x + 2x^2y + xy^2 - 3xy - 2y^2 + y + 1 = 0[/tex]
Искам подсказка

[Knowledge Greedy]

Опитай със [tex]z=0[/tex]
(поради причината [tex]u+\frac{1}{u}\ge 2[/tex])
в случай на неотрицателни [tex]x, y, z[/tex].

[ins-]

Скрит текст: покажи

Системата може да се реши по повече от един начин в реални числа. Особеност е, че се искат малко повече сметки. Гледах много красиви системи и така измислих тази задача. Вероятно не би могла да се сравнява с много от най-добрите задачи, но не вярвам и да е много зле.

[darinalazarova73]

В изпратеното решение не намирам грешка.
Ще има ли решение,ако :х=0,или у=0,или z=0?
Тези ги тълкувам като частни случаи.
(Искам да мисля,а не да се карам с хората.)

[Davids]

В изпратеното решение не намирам грешка.
Ще има ли решение,ако :х=0,или у=0,или z=0?
Тези ги тълкувам като частни случаи.
(Искам да мисля,а не да се карам с хората.)

Чрез това полагане стигаш до една наредена тройка от положени сборове, което е също валидно допълнение към дадената система (т.е. нови зависимости), но не означава, че няма решения. И аз дотам стигнах...

[ins-]

Да подсказвам ли?

[darinalazarova73]

Ако z=0,то за у получавам израз:

(корен трети от...числа+корен трети от...числа-2)/3
В правилна посока ли съм,или да търся грешка?

[ins-]

Защо z=0? Не съществува тройка (x,y,z), за която z=0 и е решение на системата.

[darinalazarova73]

Решавах я по нов начин и получих отг.1;0;0
Тези числа удовлетворяват първото и третото уравнение,НО не и второто.
(2/0)+1 равно ли е на 3
Правилно ли си изписал второто уравнение???

[monika_at]

Решавах я по нов начин и получих отг.1;0;0
Тези числа удовлетворяват първото и третото уравнение,НО не и второто.
(2/0)+1 равно ли е на 3
Правилно ли си изписал второто уравнение???

Абсурд! Как може (y,z)=(0,0)?

[ins-]

Нито едно от уравненията не е написано грешно.

[Alex98]

След кратки изчисления получих това

[tex]x_1=\frac{1}{4}(\sqrt{13}+5-\sqrt{150+42\sqrt{13}})[/tex]
[tex]y_1=\frac{1}{2}(2\sqrt{7+2\sqrt{13}}-3-\sqrt{13})[/tex]
[tex]z_1=\frac{1}{2}(5+\sqrt{13})[/tex]

[tex]x_2=\frac{1}{4}(\sqrt{13}+5+\sqrt{150+42\sqrt{13}})[/tex]
[tex]y_2=-\frac{1}{2}(2\sqrt{7+2\sqrt{13}}+3+\sqrt{13})[/tex]
[tex]z_2=\frac{1}{2}(5+\sqrt{13})[/tex]

[ins-]

Има поне 3 начина да се реши системата, но почти всеки от тях е свързан с известен брой изчисления. Два от тях са чрез полагания: a=x+y, b=y+z, c=z+x или t=x+y+z. Ако наистина начина, по който си я решил е кратък - може да го споделиш.

[darinalazarova73]

В отговора САМО реални числа ли участват,или има и букви?

[ins-]

Само реални числа са в отговора. Може, ако на човек не му се смята да замени някои от тях с букви, но да спомене на какво реално число е равна всяка буква. По-интересен момент е, ако към условието се добави "и да се направи проверка". Тогава задачата е добро упражнение и по ирационални изрази.