Система уравнения - измислена случайно

[ins-]

Да се реши системата:
$\begin{cases}x+xy+\frac{1}{xyz}=2 \\ \frac{1}{y}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xyz}=3 \\ \frac{1}{z}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xyz}=4\end{cases}$

[Alex98]

[tex]\begin{array}{|l}x+xy+\frac{1}{xyz}=2\\\frac{1}{y}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xyz}=3 \\\frac{1}{z}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xyz}=4 \end{array}[/tex]

Разглеждаме второто уравнение [tex]\frac{1}{y}(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{xz})=3 \Rightarrow \frac{1}{z}+\frac{1}{xz}=3y-1[/tex]
Разглеждаме третото уравнение [tex]\frac{1}{z}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xyz}=4 \Rightarrow \frac{1}{xyz}=4-(\frac{1}{z}+\frac{1}{xz})=5-3y[/tex]
Разглеждаме първото уравнение [tex]x+xy+\frac{1}{xyz}=2 \Rightarrow x(y+1)=2-\frac{1}{xyz}=2-5+3y=3(y-1) \Rightarrow x=\frac{3(y-1)}{y+1}[/tex]
Сега отново се връщаме във третото уравнение [tex]\frac{1}{z}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xyz}=\frac{1}{xyz}(xy+y+1)=(5-3y)(\frac{3y(y-1)+(y+1)^2}{y+1}=\frac{(5-3y)(4y^2-y+1)}{y+1}=4[/tex]
[tex]\Rightarrow -12y^3+23y^2-8y+5=4y+4 \Rightarrow 12y^3-23y^2+12y-1=0 \Rightarrow (y-1)(12y^2-11y+1)=0[/tex]
Полученото уравнение има три решения , но решението [tex]y=1[/tex] е недопустмо тъй като при него се получава [tex]x=0[/tex] , при което системата не е дефинирана.За останалите 2 стойности за [tex]y[/tex] намерени след решаването на квадратното уравнение [tex]12y^2-11y+1=0 \Rightarrow y_1=\frac{11+\sqrt{73}}{24} , y_2=\frac{11-\sqrt{73}}{24}[/tex] , намираме съответните стойности за [tex]x,z[/tex]

[kmitov]

Красиви системи! Поздравления! Не можах да реша нито една!

[ins-]

Аз мислех, че са бозави и лесни. Всяка от тях има по някакъв недостатък и не можа нито една да ми хареса на 100%, но не всеки ден се намира или измисля нещо много гениално. Трябва много труд, вдъхновение и късмет.