Турско Сангаку

[ins-]

Да се докаже, че: [tex]a+b=c[/tex].

[Davids]

Вектори ли са това или просто радиуси? Тъй като буквеното означение подсказва отсечки, а чертежа е със стрелки

[ins-]

Радиуси са.

[Alex98]

Нека [tex]\angle BAE =\alpha \Rightarrow \angle EBF=\alpha \Rightarrow \angle AOB=\angle COD=2\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BEF ;P_{BEF}=BE(sin\alpha +cos \alpha +1) \Rightarrow a=p_{BEF}-BE=\frac{BE}{2}(sin\alpha +cos \alpha -1)[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AOF ;P_{AOF}=AO(sin 2\alpha +cos 2\alpha +1) \Rightarrow b=p_{AOF}-AO=\frac{AO}{2}(sin 2\alpha +cos 2\alpha -1)[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BOC ; OO_c[/tex] е ъглополовяща ([tex]O_c[/tex] е центъра на вписаната окръжност)[tex]\Rightarrow c=OO_c.sin \alpha[/tex]
Нека [tex]AD=2x \Rightarrow OO_c+c=x \Rightarrow OO_c=x-c \Rightarrow c=(x-c)sin \alpha \Rightarrow c= \frac{x sin \alpha}{1+sin \alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x}{AO}=cos \alpha \Rightarrow AO=\frac{x}{cos \alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{BE}{AB}=tg \alpha \Rightarrow BE=AB.tg \alpha=AD.tg^2 \alpha=2xtg^2\alpha[/tex]
Заместваме [tex]a,b,c[/tex] и свеждаме задачата до доказване на тъждеството:
[tex]tg^2\alpha(sin\alpha +cos \alpha -1)+\frac{1}{2cos \alpha}(sin 2\alpha +cos 2\alpha -1)=\frac{sin \alpha}{1+sin \alpha}[/tex]
[tex]tg^2\alpha(sin\alpha +cos \alpha -1)+\frac{1}{2cos \alpha}(sin 2\alpha +cos 2\alpha -1)=[/tex]
[tex]tg \alpha(\frac{ sin^2 \alpha}{cos \alpha}+sin \alpha -\frac{sin \alpha}{cos \alpha})+\frac{1}{2cos \alpha}(2sin \alpha .cos \alpha+cos^2 \alpha -sin^2 \alpha-sin^2 \alpha-cos^2 \alpha)=[/tex]
[tex]=tg \alpha(\frac{ sin^2 \alpha}{cos \alpha}+sin \alpha -\frac{sin \alpha}{cos \alpha})+\frac{2 sin \alpha}{2cos \alpha}(cos \alpha - sin \alpha)=[/tex]
[tex]=tg \alpha\frac{ sin^2 \alpha +cos^2 \alpha - sin \alpha}{cos \alpha}=[/tex]
[tex]=\frac{sin \alpha(1-sin \alpha)}{cos^2 \alpha }=[/tex]
[tex]=\frac{sin \alpha(1-sin \alpha)}{1-sin^2 \alpha }=[/tex]
[tex]=\frac{sin \alpha(1-sin \alpha)}{(1-sin \alpha )(1+sin \alpha)}=[/tex]
[tex]=\frac{sin \alpha}{1+sin \alpha}[/tex]

С което задачата е решена

[b1ck0]

Може да решим задачата и като изразим радиусите на вписаните окръжности чрез лицата на описаните триъгълници и след това видим какво става по диагонала BD.

[Евва]

Забелязваме ,че [tex]\angle[/tex]AEB=[tex]\angle[/tex]ODC ( остри ъгли с взаимноперпендикулярни рамене) .
Да ги означим с [tex]\alpha[/tex] , тогава [tex]\angle[/tex][tex]O_{3 }[/tex]DC=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]AEB- правоъгълен) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AB}{AE}[/tex] ; AE=[tex]\frac{AB}{sin \alpha }[/tex] (1)
също cotg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{BE}{AB}[/tex] ; BE=AB.cotg[tex]\alpha[/tex] (2)

Ако a,b са катети в прав.тр-к ,то знаем ,че a+b=2r+2R .
(За [tex]\triangle[/tex]BFE ) BF+EF=2a+BE
(За [tex]\triangle[/tex]AOF ) AF+OF=2b+AO

BF+EF+AF+OF=2a+BE+2b+AO
BO+AE=2(a+b)+BE+BO

2(a+b)=AE-BE=
=[tex]\frac{AB}{sin \alpha }[/tex]-AB.cotg[tex]\alpha[/tex]=

=AB([tex]\frac{1}{sin \alpha }[/tex]-[tex]\frac{cos \alpha }{sin \alpha }[/tex])=

=AB.[tex]\frac{2 sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{2sin \frac{ \alpha }{2}.cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]=

=DC.[tex]\frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]=DC.tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=

=DC.[tex]\frac{c}{ \frac{DC}{2} }[/tex]=
=2c