Задача с петолъчка

[ins-]

На картинката имаме произволна (неправилна) 5-лъчка. Да се докаже споменатата зависимост.

Скрит текст: покажи

Задачата не е съставена от мен, но ми се стори интересна.

[georgi111]

Ако въведем мерки на ъглите при върховете [tex]V_i[/tex] да са [tex]v_i[/tex] ([tex]i \in [1,5][/tex]) и използвайки синусови теореми за триъгълниците [tex]W_iW_{i+1}V_{i+1}[/tex](където можем да считаме, че [tex]i=1[/tex] ако [tex]i=5[/tex]).Тогава горното равенство е еквиваленто с:
[tex]\frac {sin(v_2+v_4)}{sin(v_3+v_5)}.\frac {sin(v_3+v_5)}{sin(v_1+v_4)}.\frac {sin(v_1+v_4)}{sin(v_2+v_5)}.\frac {sin(v_2+v_5)}{sin(v_1+v_3)}.\frac {sin(v_1+v_3)}{sin(v_2+v_4)}=1[/tex], което е изпълнено. С това задачата е решена.

[ins-]

Със сходни разсъждения може да се докаже и за [tex]n[/tex]-лъчка, че е в сила подобно твърдение. Задачата ме вдъхнови да измисля друга задача viewtopic.php?f=49&t=18882.