Задача с шестолъчка

[ins-]

Да се докаже, че [tex]r_1.r_3.r_5=r_2.r_4.r_6[/tex]

hex.jpg (34.58 KiB) Прегледано 570 пъти

[georgi111]

Красива задачка. Ето и моето решение:
Първо ясно е, че [tex]O_iO_{i+1}[/tex] минават през върховете на описания шестоъгълник (връхни ъгли с една и съща ъглополовяща).Нека въведем следните ъгли при основата(по часовниковата стрелка), започвайки от триъгълничето с вписаната окръжност с радиус [tex]r_1[/tex] - [tex]а_1, а_2, ..., а_6[/tex](за всички останали), а [tex]r[/tex]-радиуса на вписаната в шестоъгълника. Тогава ако вписаната с радиус [tex]r_1[/tex] се допира до страната [tex]AB[/tex](означаваме) на шестоъгълника в точка [tex]X[/tex] , а вписаната в шестоъгълника до същата страна в точка [tex]X_1[/tex], лесно имаме [tex]AX_1=BX=p_1-a_1=x[/tex](a_1 страната в малкото триъгълниче срещу върха [tex]A[/tex]) и [tex]r_1=x.tg(a_1), r=x.ctg(a_6)[/tex], откъдето лесно имаме :
(1) [tex]r_1=r.tg(a_1).tg(a_6)[/tex]
Аналогично получаваме :
(2) [tex]r_2=r.tg(a_1).tg(a_2)[/tex]
(3) [tex]r_3=r.tg(a_2).tg(a_3)[/tex]
(4) [tex]r_4=r.tg(a_3).tg(a_4)[/tex]
(5) [tex]r_5=r.tg(a_4).tg(a_5)[/tex]
(6) [tex]r_6=r.tg(a_5).tg(a_6)[/tex]
Тогава даденото следва лесно - (1)*(3)*(5)=(2)*(4)*(6)
[tex]r_1.r_3.r_5=r_2.r_4.r_6=r^3.tg(a_1).tg(a_2).tg(a_3).tg(a_4).tg(a_5).tg(a_6)[/tex]