Едно румънско неравенство

[Knowledge Greedy]

Нека числата [tex]a_1, a_2, ... , a_n[/tex] са реални положителни. Да се докаже, че
[tex]\frac{a_1}{(1+a_1)^2}+\frac{a_2}{(1+a_1+a_2)^2}+...++\frac{a_n}{(1+a_1+a_2+...+a_n)^2}\le \frac{a_1+a_1+...+a_n}{1+a_1+a_1+...+a_n}[/tex]

[muabezglaa]

индукция

[Knowledge Greedy]

индукция

Браво! А как да го запишем ?

[nevrodermit]

[tex]n=1[/tex]
[tex]\frac{a_1}{(1+a_1)^2}\le \frac{a_1}{1+a_1} \Leftrightarrow 1\le 1+a_1[/tex]

Нека твърдението е вярно за [tex]n[/tex] числа.
За [tex]n+1[/tex] числа полуаваме
[tex]\frac{a_1}{(1+a_1)^2}+\frac{a_2}{(1+a_1+a_2)^2}+\cdots + \frac{a_n}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_n)^2} +\frac{a_{n+1}}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_n +a_{n+1})^2} \le \frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{1+a_1+a_2+\cdots + a_n}+\frac{a_{n+1}}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_n +a_{n+1})^2}[/tex].
Искаме да докажем, че
[tex]\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{1+a_1+a_2+\cdots + a_n}+\frac{a_{n+1}}{(1+a_1+a_2+\cdots +a_n +a_{n+1})^2} \le \frac{a_1+a_2+\cdots + a_n+a_{n+1}}{1+a_1+a_2+\cdots + a_n+a_{n+1}}[/tex].

Нека [tex]a=a_1+a_2+\cdots + a_n[/tex], [tex]b=a_{n+1}[/tex].
Искаме да докажем, че
[tex]\frac{a}{1+a}+\frac{b}{(1+a+b)^2} \le \frac{a+b}{1+a+b} \Leftrightarrow \frac{a}{1+a}\le \frac{(a+b)(1+a+b)-b}{(1+a+b)^2} \Leftrightarrow \frac{a}{1+a}\le \frac{a+a^2+ab+b+ab+b^2-b}{(1+a+b)^2} \Leftrightarrow \frac{a}{1+a}\le \frac{a^2+2ab+b^2+a}{(1+a+b)^2} \Leftrightarrow a(1+a+b)^2 \le (1+a)(a^2+2ab+b^2+a) \Leftrightarrow a(1+a+b)^2 \le (1+a)[(1+a+b)^2-a-2b-1] \Leftrightarrow (1+a+b)^2\ge a+2b+1[/tex], което е очевидно.