Тема за IX-XI клас от руска щафета

[Knowledge Greedy]

1. Нека [tex]h[/tex] е най-малката стойност на параметъра, при която уравнението [tex](x-\sqrt{99}).\sqrt{x-h}=0[/tex] има само един цял корен. Намерете [tex]h.[/tex]
2. В правоъгълен триъгълник височината към хипотенузата е [tex]h[/tex]. Определете най-малкото възможно лице [tex]s[/tex] на този триъгълник.
3. След награждаването, тримата победители били поздравени от общо [tex]s[/tex] души. Първият бил поздравен от [tex]80[/tex] човека, вторият - от [tex]60[/tex] човека, а третият от [tex]70[/tex]. Най-малко от колко души са били поздравени и тримата? Отговорът означаваме с [tex]m[/tex]. Колко е числото [tex]m[/tex]?
4. Знаем, че неравенството [tex]x^2<m-8\sqrt{k}[/tex] има за решение цяло положително число. Броят на всички цели неотрицателни числа, за които това е изпълнено, е [tex]k[/tex]. Определете [tex]k[/tex].
5. Три окръжности се допират всяка с всяка друга външно, а всяка от трите се допира вътрешно до четвърта окръжност, чиито радиус е [tex]k[/tex]. От първите три, две минават през центъра [tex]O[/tex] на четвъртата.
Колко е радиусът [tex]R[/tex] на третата окръжност?

[Knowledge Greedy]

Чертежът на петата задача, в оригиналното условие беше даден.

Руската щафета.png (5 KiB) Прегледано 701 пъти

Що се отнася до името щафета, то навярно може да е дадено заради реда на задачите, във всяка от които (с изключение на последната) има параметър, стойността на който се намира в предходната задача.
От друга страна е възможно задачите да се решават като комплект - от отбори, членовете на които си предават щафета - получената стойност на съответния параметър. Победител е отборът решил най-много задачи или успял да реши последната за най-кратко време.

[Davids]

За първата задача тук се блъскам и се чудя, аз ли съм бавен или нещо много простичко изпускам в концепцията на условието. Та, доколкото виждам, двата корена са [tex]x_1 = \sqrt{99}[/tex] и [tex]x_2 = h[/tex]
Така или иначе първият не е цял, та остава [tex]x = h[/tex] да е цял. Само че, в този случай най-малката стойност не клони ли към [tex]-\infty[/tex]? Моля, някой да ме просвети, че изпушвам вече

[Knowledge Greedy]

За първата задача тук се блъскам и се чудя,... . Моля, някой да ме просвети, че изпушвам вече

За ДМ нали имаме [tex]x\ge h[/tex].
За да е единствен коренът, ще трябва [tex]h\ge \sqrt{99}[/tex].
А за да е цял, ...

[Davids]

За първата задача тук се блъскам и се чудя,... . Моля, някой да ме просвети, че изпушвам вече

За ДМ нали имаме [tex]x\ge h[/tex].
За да е единствен коренът, ще трябва [tex]h\ge \sqrt{99}[/tex].
А за да е цял, ...

Ей, пусто условие! ...
„само един цял корен“ не се ли тълкува като „може да има два корена, но само един от тях да е цял“. Виж, ако се иска коренът да е само един и тогава вече да се иска да е цял, съм съгласен. Но така условието е леко объркващо

[Knowledge Greedy]

....
Ей, пусто условие! ...
„само един цял корен“ не се ли тълкува като „може да има два корена, но само един от тях да е цял“. Виж, ако се иска коренът да е само един и тогава вече да се иска да е цял, съм съгласен. Но така условието е леко объркващо

O, да Изглежда преводът ми куца. Трябва да се каже: " ...уравнението има единствен корен, който при това е цяло число".

[Davids]

Така, стана ясно вече, че решението на първата задача е [tex]h = 10[/tex]. Разглеждаме втората:
Имаме правоъгълен тр. с височина [tex]h = 10[/tex]
И търсим най-малкото възможно лице.
Като заначало бих направил следното:
[tex]h = \frac{ab}{c} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/tex]
И знаем, че [tex]S = \frac{ab}{2}[/tex]
Сега ще се възползвам от неравенствата между средно квадратично и средно геометрично:
[tex]\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{2}} \ge \sqrt{ab} |.\sqrt{ab}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{ab}.\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{2}} \ge ab |:\sqrt{a^2 + b^2}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{ab}{2}} \ge \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/tex]
И тук, включвайки гореозначените равенства, получаваме:
[tex]\sqrt{s} \ge h[/tex]
Най-малко лице се получава при [tex]min(\sqrt{s}) = h[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{s} = h = 10[/tex]
[tex]\Rightarrow s_{min} = 100cm^2[/tex]

Надявам се да е написано разбираемо, от телефон съм
П.С.: предвид този отговор, тотално ми се губи вече логическата връзка със следващата задача. Противоречията в условието са доста директни

[amsara]

Защо да се губи връзката, напротив. Полученото лице 100 кв. см се приема в трета задача за общия брой здрависвания с наградените. Решаваме вече нея и получаваме параметъра m= възможно най-малкия брой хора, здрависали се и с тримата. Tака имаме пaраметъра, с който зaместваме в следващото неравенство... И така. Къде да се губи нишката, всичко си е навързано? Готина е задачата, защото само една по трасето да не можеш да решиш и няма как да стигнеш до края.

[Davids]

Защо да се губи връзката, напротив. Полученото лице 100 кв. см се приема в трета задача за общия брой здрависвания с наградените. Решаваме вече нея и получаваме параметъра m= възможно най-малкия брой хора, здрависали се и с тримата. Tака имаме пaраметъра, с който зaместваме в следващото неравенство... И така. Къде да се губи нишката, всичко си е навързано? Готина е задачата, защото само една по трасето да не можеш да решиш и няма как да стигнеш до края.

Ех, Боже, пак губя правилното тълкувание на условието... Не знам защо бях решил, че s е сборът от всички ХОРА, а не здрависванията, които са направени... И така, значи всичко е точно иначе

[amsara]

Всъщност S e точно общият брой на поздравяващите, не на всички здрависвания. Бях погледнала условието само отгоре-отгоре и маркирах просто схемата.

[Davids]

Всъщност S e точно общият брой на поздравяващите, не на всички здрависвания. Бях погледнала условието само отгоре-отгоре и маркирах просто схемата.

Да де, то е ясно. Хората са общо 100, като едни 60 от тях са поздравили първия, едни 70 са ппздравили другия, а третия - някои 80 от тези 100. Мирише си на комбинаторика, но ще го гледам като се прибера

[Davids]

Бих предложил още едно решение на втората задача, без толкова увъртане
Значи, на теория, ако впишем правоъгълния триъгълник в окръжност, то най-голямата височина би се постигнала, когато той е равнобедрен и височината е също медиана. Т.е.:
[tex]h_{max} = \frac{c}{2} \Leftrightarrow h \le \frac{c}{2}[/tex]
Откъдето следва [tex]c_{min} = 2h[/tex]
В нашия случай това е другия елемент от лицето и така получаваме: [tex]s_{min} = \frac{h.c_{min}}{2} = \frac{2h^2}{2} = h^2 = 100cm^2[/tex]
Изглежда ми по-рационално

[Davids]

Трета задача:
Тук съм подходил изцяло логически, математическата теория служи само за онагледяване... Но смятам, че е верен отговора
Знаем, че 100 човека са направили 210 на брой здрависвания. Броя на хората, поздравили и тримата победители, ще означим с [tex]m[/tex]. Следователно те са направили общо [tex]3m[/tex] здрависвания. Останалите хора остава да са [tex]100-m[/tex]. В оптималния случай ще приемем, че всеки от тях е направил по две здрависвания (за да редуцираме броя на направилите по три здрависвания хора до минимум).
И ето го уравнението: [tex]3m + 2(100-m) = 210[/tex]
Oткъдето [tex]m = 10[/tex]. С правилното разпределение на теория би трябвало да е възможно да се разпределят както са по условие. Но ето в това твърдение ми е слабата точка. Така или иначе по-малко от 10 не са със сигурност, сега вече ако има някакъв теоретичен пробив в решението и да е нужно да са малко повечко от 10, не успорвам.
П.П.: Ето го и разпределението, излезе лесно И окончателно [tex]m=10[/tex] е отговор.
Ще го представя така:

razpredelenie.jpg (16.68 KiB) Прегледано 622 пъти

[Davids]

Четвъртата задача придобива вида: [tex]x^2 < 10 - 8\sqrt{k}[/tex]
Лявата страна задължително е положителна, следователно трябва:
[tex]10-8\sqrt{k} > 0[/tex]
[tex]8\sqrt{k} < 10[/tex]
[tex]\sqrt{k} < \frac{5}{4}[/tex]
Единственото цяло положително [tex]k[/tex], за което това е изпълнено, е [tex]k=1[/tex]
Трябва да отбележим, че понеже става въпрос за положителни цели числа, то [tex]k = x_{max}[/tex]. Тоест, стойността на параметъра отговаря на най-голямото цяло положително [tex]x[/tex], за което неравенството е изпълнено. Но това в случая не е много релевантно, тъй като лесно се вижда, че [tex]k = 1[/tex] (понеже е брой)

Скрит текст: покажи

Иначе при малко по-широк спектър, тази част от условието: "[tex]k[/tex] e броят на всички неотрицателни цели решения" можеше да направи голяма бела в случай, че броим и [tex]0[/tex] (ако беше валидно решение, разбира се). Интересна формулировка на условието, трябва да кажем...

И така единственото цяло положително решение е [tex]x = 1[/tex] и неравенството се свежда до [tex]1 < 10 - 8.1 \Leftrightarrow 1 < 2[/tex]

[Davids]

Руската щафета.png (5 KiB) Прегледано 620 пъти

Центърът на лявата окръжност ще кръстим [tex]O_1[/tex], на дясната - [tex]O_2[/tex], а на горната - [tex]O_3[/tex]
Знаем, че точка [tex]O[/tex] е център на [tex]O_1O_2[/tex]. Следователно [tex]O_3O[/tex] е медиана в равнобедрения [tex]\Delta O_1O_2O_3[/tex], т.е. е и височина. Вижда се също, че [tex]O_3O = k - R = 1-R[/tex]
Имаме също и [tex]OO_1 = \frac{1}{2}[/tex] и знаем, че [tex]O_1O_3 = \frac{k}{2} + R = \frac{1}{2} + R[/tex]
Остава да направим питагорова теорема за [tex]\Delta O_1OO_3[/tex]:
[tex](\frac{1}{2} + R)^2 = (1-R)^2 + \frac{1}{4}[/tex]
Откъдето достигаме до [tex]R = \frac{1}{3}[/tex]

Ето го края на щафетата