Жабокът Кермит

[Knowledge Greedy]

Жабокът Кермит обича да подскача по върховете на безкрайна квадратна решетка. Но това му струва известно количество енергия. Скачайки в посока север или в посока юг, той изразходва 1 джаул за скок от 1 клетка (между два съседни върха). Същото количество енергия отива и за скок в посока изток или запад. Една сутрин той се събудил със 100 джаула енергия и започнал да скача, докато се изморил и заспал (с 0 джаула). На колко различни места върху мрежата бихме могли да открием заспалия Кермит?

[amsara]

Не съм измислила още как до докажа зависимостта. Но е видно, че ако жабокът не разполага с никаква енергия, тоест има 0 джаула, остава на едно място. Ако Кермит има 1 джаула енергия, може да доприпка до 4 различни позиции за заспиване. Ако има 2 джаула, може да се окаже на 9 различни места. Та въпроснaта зависимост е :
Възможни места за заспиване = (налични джаули енергия +1[tex])^2[/tex]
Тоест ако жабокът има 100 джаула енергия, ще може да заcпи на някое от [tex]101^2[/tex]места.

[pal702004]

Правилно, за да може да попадне в точка $(x,y)$ за $N$ скока е необходимо и достатъчно

$|x|+|y|\le N,\quad x+y\equiv N \pmod 2$

Първото условие задава квадрат.

[Knowledge Greedy]

Не съм измислила още как до докажа зависимостта. Но е видно, че ако жабокът не разполага с никаква енергия, тоест има 0 джаула, остава на едно място. Ако Кермит има 1 джаула енергия, може да доприпка до 4 различни позиции за заспиване. Ако има 2 джаула, може да се окаже на 9 различни места. Та въпроснaта зависимост е :
Възможни места за заспиване [tex]= (налични \,\ джаули \,\ енергия +1)^2[/tex] места. ...

Естествено с индукция