За бананите и за още нещо

[Knowledge Greedy]

В държавата Банания всеки мъж или търгува или е пазач на банани. Всяко семейство има по четирима сина. Двама от синовете на всеки търговец поемат по професионалния път на баща си - стават търговци. Другите двама стават пазачи на банани. Един от синовете на всеки пазач (на банани) става търговец, а другите трима стават пазачи (на банани). От незапомнени времена, всички мъже били пазачи (на банани). Но по времето на Цар Банан Нулеви - също много отдавна, се появил поне един търговец. Какъв е процентът на пазачите (на банани) в съвременна Банания, ако патриархалното семейство се е запазило през вековете и синовете все така следват бащите си?

[pal702004]

От цялата история става ясно, че имаме рекурсивна формула:

[tex]\\p_{n+1}=3p_n+2t_n\\
t_{n+1}=p_n+2t_n[/tex]

Да въведем нова променлива $x_n=\frac{p_n}{t_n}$

$x_{n+1}=\frac{3x_n+2}{x_n+2}$
За всяко $x_0\ne -2$ редицата е сходяща с граница 2. Разбира се, разглеждаме само $x>0$

Границата (ако съществува) е корен на уравнението $\frac{3x+2}{x+2}=x$, тоест, $x=2$

Стандартно се доказва, че при $x_n>2,\;\;2<x_{n+1}<x_n$, а при $x_n<2,\;\;x_n<x_{n+1}<2$

Значи, отношението на търговците към общият брой жители клони към $\frac 2 3$

[Knowledge Greedy]

Да запазим означенията на pal702004
[tex]t_n[/tex] - броят на търговците от поколението с номер [tex]n[/tex]
[tex]p_n[/tex] - броят на пазачите от поколението с номер [tex]n[/tex]
От условието
[tex]\begin{array}{|l} t_{n+1}=2t_n+p_n
\\ p_{n+1}=2t_n+3p_n \end{array}[/tex]
От разликата на двете [tex]t_{n+1}-p_{n+1}=2p_n[/tex]
и повишаване реда на второто [tex]p_{n+2}=2t_{n+1}+3p_{n+1}[/tex]
със заместване разделяме членовете на двете редици [tex]p_{n+2}=5p_{n+1}+4p_n[/tex]
Характеристичното уравнение [tex]r^2-5r+4=0[/tex] дава корени [tex]r_1=4[/tex] и [tex]r_2=1[/tex]
Общият член на [tex]\left \{ p_n \right \}_{n=1}^\infty[/tex] е от вида [tex]p_n=c. 4^n+d.1^n[/tex] ([tex]c[/tex] и [tex]d[/tex] са константи, зависещи от началните членове).
За редицата [tex]\left \{ t_n \right \}_{n=1}^\infty[/tex] получаваме [tex]t_n=c. 4^n-2.c.4^{n-1}-d[/tex]
Процентът, който търсим, ще е границата (ако съществува) на частното [tex]\frac{p_n}{t_n+p_n}[/tex]
Отговорът е същият като на pal702004
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{t_n+p_n}=\frac{2}{3}[/tex] независимо от броя на търговците [tex]t_1>0[/tex], които са се появили по времето на първия монарх.