Модул в модул

[emil3993]

Решете уравнението:
|x-1|+|x+1|+|3-|x||=2m-1

[krokodilcho]

започни да отваряш отвън навътре и просто си подреди листа като дърво с разклонения..

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме лявата страна като функция на [tex]x[/tex]
[tex]f(x)=\left |x-1 \right |+\left |x+1 \right |+\left |3- \left |x \right | \right |[/tex]
Разкриваме модулните скоби
[tex]f(x)= \left\{\begin{matrix}
-3x-3, & x<-3\\
-x+3, & -3\leq x<-1 \\
x+5, & -1\leq x<0 \\
-x+5, & 0\leq x<1\\
x+3, & 1\leq x<3 \\
3x-3, & 3\leq x &
\end{matrix}\right.[/tex]

Графика 0.gif (7.62 KiB) Прегледано 778 пъти

Разбира се, може и без графика. оттук - нататък приравняваме
[tex]\left\{\begin{matrix}
-3x-3=2m-1, & x<-3\\
-x+3=2m-1, & -3\leq x<-1 \\
x+5=2m-1, & -1\leq x<0 \\
-x+5=2m-1, & 0\leq x<1\\
x+3=2m-1, & 1\leq x<3 \\
3x-3=2m-1, & 3\leq x &
\end{matrix}\right.[/tex]
и решаваме получените уравнения, като следим за параметъра [tex]m[/tex], дали има решения и колко са в съответния интервал за [tex]m[/tex].
Получаваме примерно от първото корен [tex]x=\frac{-2m-2}{3}[/tex] - при всяко [tex]m<-1[/tex] и т.н.

[Davids]

По същия начин си играх и аз, ама си викам, че нещо бъркам... Сега се успокоих

[KOPMOPAH]

Тъй като в условието е сума на три модула, трябва някъде в началото да има $2m-1 \ge 0$ ...

[darinalazarova73]

решавах я по стар начин
х-1=0 х=1

х+1=0 тогава х=-1
х=0 х=0
3-х=0 х=3
3+х=0 х=-3
тези числа разделят числовата ос на 6 интервала,имаме 6 случая
1 случай х принадлежи(-безкрайност;-3)
-(х-1)-(х+1)-(3-(-х))=2м-1
-х+1-х-1-3-х=2м-1
-3х=2м+2
х=-(2м+2)/3 трябва м принадлежи(7/2;+безкрайност)
2 случай х принадлежи(-3;-1)
отг.х=4-2м трябва м принадлежи(5/2;7/2)
3 сл. х принадлежи(-1;0)
отг.х=2м-6 трябва м принадлежи(5/2;3)
4 сл. х принадлежи(0;1)
отг. х=6-2м трябва м принадлежи(5/2;3)
5 сл. х принадлежи(1;3)
отг.х=2м-4 трябва м принадлежи(5/2;7/2)
6 сл. х принадлежи(3;+безкрайност)
х-1+х+1-(3-х)=2м-1
3х-3=2м-1
х=(2м+2)/3 трябва (2м+2)/3 да е по-голямо,или=3
от там получаваме м принадлежи(7/2;+безкрайност)

[monika_at]

Тъй като в условието е сума на три модула, трябва някъде в началото да има $2m-1 \ge 0$ ...

Не е необходимо Това е параметрично уравнение и се налага изследване на параметъра за броя на решенията.

[Knowledge Greedy]

Графиката дадох неслучайно.

Графика на тримодулна.gif (9.53 KiB) Прегледано 723 пъти

Тук съм добавил и графиката на дясната страна - права, успоредна на абсцисната ос.
При нейното движение (успоредно на абсцисната ос) - отбелязал съм го с различни цветове, се получават различен брой пресечни точки с графиката на лявата страна (т.е. различен брой решения, в зависимост от параметъра [tex]m[/tex]). Останалото са малко сметки - линейни уравнения.

[emil3993]

Благодаря.