Двама приятели играели игра...

[Davids]

Една леко нестандартна, бих казал, средно трудна задача за 10. клас.

Нека [tex]n[/tex] и [tex]k[/tex] са естествени числа. Двама приятели обичали да се събират и да играят следната игра:
На всеки ход [tex]s (s \le k)[/tex] първият играч записва естествено число [tex]a_s (a_s \le n)[/tex], а след това вторият играч записва естественото число [tex]b_s (b_s \le n)[/tex]. Ако сумата [tex]a_1 + a_2 + ... + a_k + b_1 + b_2 + ... + b_k[/tex] не е точен квадрат, то играта се печели от първия играя. В противен случай печеливш е вторият играч.
а) Докажете, че при [tex]n = 10[/tex] и [tex]k = 11[/tex] съществува печеливша стратегия за втория играч.
б) За фиксирано [tex]n[/tex], за кой от двамата играчи съществува печеливша стратегия, ако [tex]k = n + 2[/tex]?

Скрит текст: покажи

П.П.: Задачата я има онлайн, така че ще помоля тези, които са предварително осведомени относно отговора, да поизчакат малко

[drago]

a) След всеки ход на първия играч, вторият записва число, което допълва това на първия до $11$ (това винаги може да стане). Така след $11$ хода, сумата на числата ще е $11\cdot 11$.

b) Първият печели. Той записва $1$. След всеки ход на втория играч, първия записва число, което допълва това на втория до $n+1$. Така, на $n+2$ рунд, след числото, записано от първия, сумата на числата ще е $1+(n+1)\cdot(n+1)$. Вторият ще загуби тъй като следващия точен квадрат е $(n+2)^2$ и той би трябвало да запише $2n+2$, за да стане сумата толкова, а той не може да запише повече от $n$.

Коментар: Задачата би могла да се реши и от седмокласник, стига да щрака и да има някаква подготовка. Ако се интересуваш от трудността- според мен става за общински кръг на НОМ, може и за областен, но ще е от лесните.

[Davids]

Идеален си, благодаря! Задачата е от състезанието в Ловеч между гимназии с чуждоезиков профил, т.е. се води принципно с понижена трудност. Аз лично успях да я дотикам само до първата подточка, но ми се стори интересна и честно казано, очаквах нещо в пъти по-сложно за втората подточка Пак благодаря!