Примамливо простовато ъгълче за намиране

[Davids]

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex] с [tex]\angle ACB > 90^{\circ}[/tex].
[tex]CH[/tex] е височината от върха C [tex](H \in AB)[/tex], а $AL$ е ъглополовящата на [tex]\angle BAC (L \in BC)[/tex]. Да се намери [tex]\angle ALC[/tex], ако [tex]\angle ALC = \angle BHL[/tex].

[monika_at]

Ще дам решение на задачата, но ми се ще, ако нещо не ви хареса да го споделите. Малко ме съмнява това решение, дали е издържано.

Нека [tex]AHC[/tex] е правоъгълен и построим външновписаната му окръжност, която се допира до [tex]CH[/tex] и има център [tex]L[/tex].
Тогава [tex]\angle ACL>90^0[/tex].
[tex]\angle ALC[/tex] е образуван от вътрешна и външна ъглополовяща на [tex]\Delta AHC[/tex]=>[tex]\angle ALC=\frac{1}{2}\angle AHC= 45^0[/tex] (основна задача от 7 клас )
Да продължим [tex]CL[/tex]до пресичането й с [tex]AH[/tex]в точка [tex]B[/tex].Тогава [tex]HL[/tex] е външна ъглополовяща за [tex]\angle AHC=>\angle LHB=45^0[/tex].
Ясно е, че получената ситуация отговаря на условието на задачата за равенство между ъглите [tex]\angle ALC[/tex]и [tex]\angle LHB[/tex]=> търсеният ъгъл е [tex]45^0[/tex]

angle.png (31.41 KiB) Прегледано 631 пъти

[ева]

т.L е пресечна т.на ъглополовящите AL и HL.
Откъде знаем,че т.L лежи на BC ?

[matst]

Използвам означенията от чертежа на monika_at от Съб Апр 01, 2017 1:51 pm

Да означим [tex]\varphi=\angle ALC[/tex]. Така, по условие, [tex]\angle LHB=\varphi[/tex].
При разглеждане на [tex]\triangle ALC[/tex] се забелязва, че [tex]\varphi<90^\circ[/tex],
защото [tex]\angle ACL=\angle ACB>90^\circ[/tex] ([tex]L[/tex] e между [tex]C[/tex] и [tex]B[/tex]).

От [tex]\angle ALB = \angle AHL = 180^\circ - \varphi[/tex] и [tex]\angle LAH=\angle BAL=\alpha/2[/tex]
следва подобието на триъг.
(1) [tex]\triangle AHL \approx \triangle ALB[/tex].
Следователно, [tex]\frac{AL}{AB}=\frac{AH}{AL}[/tex] и от тук [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AL^2=AH.AB[/tex].

От правоъгълния триъг. [tex]\triangle AHC[/tex] следва [tex]AH=AC.\cos \angle BAC[/tex].

За краткост полагам [tex]\alpha=\angle BAC, a=BC, b=AC, c=AB[/tex])

И така, [tex]AL^2=b.c.\cos\alpha[/tex].

Прилага се общата формула за дължина на ъглополовяща [tex]AL^2=b.c - \frac{b.c}{(b+c)^2}\, a^2[/tex] и се получава
[tex]b.c.\cos\alpha = b.c - \frac{b.c}{(b+c)^2}\, a^2[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a^2}{(b+c)^2} = 1- \cos\alpha = 2 \sin^2 (\alpha/2)[/tex]
(2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{b+c} =\sqrt{2} \sin (\alpha/2)[/tex]

Освен това, от подобието (1) следва [tex]\frac{HL}{AL}=\frac{LB}{AB}[/tex]
и от това, че [tex]AL[/tex] е ъглополовяща имаме [tex]\frac{LB}{AB}=\frac{BC}{BA+AC}=\frac{a}{b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{HL}{AL}=\frac{a}{b+c}[/tex].

Така, от една страна, след като се замести (2) се получава [tex]\frac{HL}{AL}=\sqrt{2} \sin (\alpha/2)[/tex].
От друга страна, съгласно sin т-ма за триъг. [tex]\triangle AHL[/tex]
[tex]\frac{HL}{AL}=\frac{\sin (\alpha/2)}{\sin \varphi }[/tex] и значи [tex]\sin \varphi = \frac1{\sqrt{2}}[/tex].
Следователно, [tex]\varphi = 45^\circ[/tex].