Задача от сборника на баба ми

[emil3993]

Здравейте математици! Давам Ви домашно за празниците. Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Приятна ваканция.

Да се построи сфера, която да се допира до дадена равнина в дадена точка и до дадена сфера.

[Nathi123]

Нека дадената сфера е к( О, r ) ,дадената равнина да означим с [tex]\alpha ;[/tex] , дадената точка от [tex]\alpha[/tex] М . Построяваме OQ[tex]\bot\alpha;Q\in\alpha \Rightarrow OQ=d[/tex] е известно,тъй като к е дадена сфера. MQ= p - също.Нека [tex]\beta[/tex] е равнината определена от правата OQ и т.М. Да допуснем ,че [tex]k_{1 }( O_{1 },R=x)[/tex] e сфера.
[tex]\Rightarrow O_{1 }M\bot\alpha ; O_{1 }M=x\Rightarrow O_{1 }M||OQ\Rightarrow O_{1 }\epsilon\beta[/tex]. В [tex]\beta[/tex] построяваме [tex]O_{1 }R\bot OQ ; R\epsilon OQ\Rightarrow MQRO_{1 }[/tex] - правоъгълник.
[tex]\Rightarrow O_{1 }M = RQ =x ; O_{1 }R = MQ= p ; OR = d-x;k\cap k_{1 }=S\Rightarrow OO_{1 }=r+x[/tex].
Т на Питагор за [tex]\Delta OO_{1 }R\Rightarrow ( x+r)^{2}=p^{2} + ( d - x)^{2}\Leftrightarrow x = \frac{p^{2}+d^{2} - r^{2}}{2(r+d)}[/tex].
Отсечката х може да се построи ,като се използва алгебричен метод за построение на отсечки.

[harr]

Здравейте имам интересна задача за решаване
малко е трудна:
нещо не мога да се справя

Иван се прибира от победа с много златни жълтици
Половината злато дал на съюзника си
1/7 от останалата част дал на баща си
Друга 1/8 дал на генерала
1/14 дал на лейтенанта
1/13 от останалата част дал на дядо си
На аристократите раздал 1/9
На църквата дал 1/16
На малкия си брат дал 1/20
За него останали 570 жълтици
В задачата се пита колко е било първоначалното количество златни жълтици

[KOPMOPAH]

В допълнение, използвайки означенията на Nathi123

Сферите се допират в т. $T$, $ST$ лежи на общата им допирателна, $SQ=ST=SM \Rightarrow \triangle QMT$ е правоъгълен, т. е. за да получим т. $T$ построяваме окръжност с диаметър $QM$. Нататък мисля, че е ясно - търсим пресечената точка на правата $OT$ и перпендикуляра, издигнат от т. $M$.

[Knowledge Greedy]

Да се построи сфера [tex]\sigma[/tex], която да се допира до дадена равнина [tex]\nu[/tex] в определена нейна точка [tex]N[/tex] и до дадена сфера [tex]\Sigma[/tex].
Да погледнем на чертежа "отстрани".

Какво очакваме като резултат.png (4.97 KiB) Прегледано 536 пъти

По-строго казано - да разгледаме равнина [tex]\lambda[/tex], перпендикулярна на дадената равнина [tex]\nu[/tex], която минава през центъра [tex]O[/tex] на сферата и през дадената точка [tex]N[/tex].Правата [tex]NT[/tex] е пресечницата на [tex]\lambda[/tex] с дадената равнина [tex]\nu[/tex]. Допирната точка [tex]T[/tex] е точката, в която дадената сфера [tex]\Sigma[/tex] допира равнината [tex]\nu[/tex] (на чертежа се вижда голямата окръжност на дадената сфера), а точката [tex]N[/tex] е дадената точка от равнината, в която трябва да допрем новата сфера (тази точка естествено лежи на пресечницата).
1. Явно центърът на търсената сфера ще лежи на перпендикуляр [tex]n[/tex] през точката [tex]N[/tex].
2. Да намерим средата [tex]M[/tex] на отсечката [tex]NT[/tex].
3. Да намерим средата [tex]Q[/tex] на отсечката [tex]MO[/tex].
4. Построяваме окръжност [tex]\omega[/tex] с център и диаметър [tex]MO[/tex].
5. Окръжността [tex]\omega[/tex] пресича дадената окръжност в точка [tex]A[/tex] (освен в дадената точка [tex]T[/tex]).
6. Построяваме права [tex]AO[/tex] и точката [tex]W[/tex], в която тя пресича перпендикуляра [tex]n[/tex].
7. С център точката [tex]W[/tex] и радиус [tex]WM[/tex] описваме окръжност, която е голямата окръжност на търсената сфера (принадлежаща на равнината [tex]\lambda[/tex]).

Построение.png (5.66 KiB) Прегледано 536 пъти

[emil3993]

Благодаря за интереса.