Четириъгълник и квадрати

[KOPMOPAH]

На страните на произволен четириъгълник са построени квадрати, като центровете (пресечените точки на диагоналите) на срещуположните квадрати са съединени.
Да се докаже, че отсечките са равни и перпендикулярни.

[loving_math]

Опорни точки само.
Нека четириъгълникът е [tex]ABCD[/tex], а квадратите -[tex]ABDF; BCRS; DCPQ; ADMN[/tex]
Нека О е средата на диагонала [tex]AC[/tex] на дадения четириъгълник, а - [tex]O_{1}; O_{2}; O_{3};O_{4}[/tex]съотвтно пресечните точки на диагоналите на квадртаите в горния ред.
Доказваме еднаквост на [tex]\Delta QDA; \Delta CDM[/tex] по втори признак, като СЕЕТ са равни страните [tex]AQ=MC[/tex]
От средни отсечки [tex]\Rightarrow OO_{4}=OO_{3}[/tex]
[tex]\angle O_{4}OO_{3}=90 ^\circ[/tex]
Съвсем аналогично подхождаме и с [tex]OO_{1}=OO_{2}; \angle O_{1}OO_{2}=90 ^\circ[/tex]
Доказваме следваща еднаквост, а именно на [tex]\Delta O_{4}OO_{2} ; \Delta O_{3}OO_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow O_{3}O_{1}= O_{4}O_{2}[/tex] като СЕЕТ
С изразяване на ъглите доказваме правия ъгъл.

[ptj]

Пиша от телефон и затова ще спомена само идеята. Двата вектора се изразяват по подобен начин, но всеки от участващите вектори е рутиран на 90 градуса във втория случай. Ако намеря време ще го опиша на лист и ще кача снимка.

[kucheto]

Този факт е известен като теорема на Ван Обел.

[Knowledge Greedy]

Четириъгълникът с квадратите.png (6.59 KiB) Прегледано 483 пъти

Означаваме с [tex]P,Q[/tex] и [tex]O[/tex] средите на [tex]AB, BC[/tex] и [tex]AC[/tex].
[tex]\begin{array}{|l} 1) \,\ O_1P=\frac{1}{2}AB=OQ \\ 2) \,\ OP=\frac{1}{2}BC=O_2Q \\ 3) \,\ \angle OPO_1=\beta +90^\circ=\angle O_2QO \end{array} \,\ \overset{I-и \,\ признак}{\Rightarrow} \,\ \Delta OPO_1\cong \Delta O_2QO \Rightarrow \,\ OO_1=OO_2[/tex]
Аналогично [tex]OO_3=OO_4[/tex].

Четириъгълникът с квадратите 2.png (7.46 KiB) Прегледано 483 пъти

Сега да разгледаме [tex]\Delta O_1O_3O[/tex] и [tex]\Delta O_2O_4O[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 1) \,\ OO_1=OO_2 \\ 2) OO_3=OO_4 \\ 3) \,\ \angle O_1OO_3=90^\circ +\angle O_2OO_3=\angle O_2OO_4 \end{array} \,\ \overset{I-и \,\ признак}{\Rightarrow} \,\ \Delta O_1O_3O \cong \Delta O_2O_4O[/tex]

[tex]\Delta O_1O_3O \cong \Delta O_2O_4O \,\ \Rightarrow \angle OO_1O_3=\angle OO_2O_4[/tex]

Сега сравняваме ъглите на [tex]\Delta O_1SO[/tex] и [tex]\Delta SO_2R[/tex]. Изводът е, че трябва [tex]\angle SRO_2=90^\circ[/tex].
Следователно [tex]O_2O_4\bot O_1O_3[/tex]
___________
Разчитах на означенията от чертежа, а именно - точката R е пресечна на [tex]O_2O_4[/tex] и [tex]O_1O_3[/tex], а точката [tex]S[/tex] е пресечна на [tex]O_1O_3[/tex] и [tex]O_2O[/tex].
___________
Пропуснал съм също да обясня и защо равнобедреният [tex]\Delta O_1O_2O[/tex] е правоъгълен.
___________
Като допълнение и един въпрос. Случайно ли пресечната точка на диагоналите съвпада с пресечната точка на правите, чиято перпендикулярност доказахме?