Заета от известно списание

[Knowledge Greedy]

Всяко едно от реалните неотрицателни числа [tex]x, y, z[/tex] е не по-голямо от [tex]\frac{3}{2}[/tex].
Сборът им е [tex]x+y+z=3[/tex]. Да се докаже, че [tex]x^2+y^2+z^2\le \frac{9}{2}[/tex].

[ptj]

Условието е противоречиво.

[pal702004]

Не е непротиворечиво условието. Щом като и трите са не по големи от $\frac 3 2$, да положим $a=\frac 3 2-x \ge 0$, аналогично $b=\frac 3 2-y,\;c=\frac 3 2 -z$ и да работим с тези неотрицателни променливи.

От първото условие имаме $a+b+c=\frac 3 2$

$x=\frac 3 2-a=b+c$, аналогично $y=a+c,\;z=b+c$

Остава да докажем, че $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \le 2(a+b+c)^2$ за неотрицателни $a,b,c$

След разкриване се свежда до $ab+bc+ca \ge 0$