Ъгли на триъгълник

[monika_at]

Даден е триъгълник АВС, с [tex]\angle A=60^\circ[/tex]. Медианата ВМ и ъглополовящата AL се пресичат в т.P, като около РМCL може да се опише окръжност. Да се намерят ъглите на триъгълник АВС.

[emil3993]

P откъде идва?

[Davids]

$MPCL$ или $MHCL$?

[monika_at]

Пресечната точка е Р. Оправих условието.

[Anubis]

[tex]60^\circ, \, 60^\circ, \, 60^\circ[/tex] ли е отговорът

[monika_at]

Да

[Anubis]

До довечера ще напиша решението.

[Anubis]

При стандартните означения [tex]\angle ACB = \gamma[/tex], откъдето [tex]\angle APB = 180^\circ-\gamma \Rightarrow \angle ABP = \gamma-30^\circ[/tex].

Отсечките [tex]AL, \, BM[/tex] и [tex]CN[/tex] се пресичат в една точка [tex]\Rightarrow \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1; \, AM=MC \Rightarrow \frac{AN}{NB} = \frac{CL}{LB}[/tex].

По теоремата на Талес [tex]AC||LN[/tex]. Сега [tex]ANLC[/tex] е трапец с пресечна точка на диагоналите [tex]P[/tex] и среда на едната основа

[tex]M[/tex]. От теоремата на Щайнер следва, че [tex]F[/tex] е средата на другата основа.

[tex]\Delta BFN: \, \, \, \frac{BF}{\sin 60^\circ} = \frac{NF}{\sin(\gamma-30^\circ)} \Rightarrow BF = \frac{NF \sin 60^\circ}{\sin(\gamma-30^\circ)}[/tex]

[tex]\Delta BFL: \, \, \, \frac{BF}{\sin \gamma} = \frac{FL}{\sin(30^\circ+2\gamma)} \Rightarrow BF = \frac{FL \sin \gamma}{\sin(30^\circ+2\gamma)}[/tex]

Тогава [tex]\frac{\sin 60^\circ}{\sin(\gamma-30^\circ)} = \frac{\sin \gamma}{\sin (30^\circ+2\gamma)} \Rightarrow \gamma = 60^\circ[/tex].

Подпис: Людмил Йовков (Spider Iovkov)

[pipi langstrump]

$\frac{\sin 60^\circ}{\sin(\gamma-30^\circ)} = \frac{\sin \gamma}{\sin (30^\circ+2\gamma)}$

Това уравнение за Гама може да се получи много по-лесно, като се направят две синусови теореми - за АBM i BMC и уравненията се разделят почленно Т.е.

AM/sin(G-30) = BM/sin 60
CM/sin (150-2G) = BM/sin G


А и според мен уравнението трябва все пак да се реши.

[Anubis]

Поради тъждеството [tex]\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) ][/tex] имаме

[tex]\sin 60^\circ \sin (30^\circ + 2\gamma) = \sin \gamma \sin(\gamma - 30^\circ) \Rightarrow \cos 30^\circ + \cos(90^\circ+2\gamma)=0[/tex],

а от [tex]\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex] получаваме [tex]\cos(60^\circ + \gamma) \cos(30^\circ + \gamma) = 0[/tex].

Тогава [tex]\gamma = 60^\circ[/tex].

[ptj]

Краищата на височината, ъглополовящата и медианата винаги са подредени в една посока, като височината е по- близо до късото рамо, а медианата до дългото (за същия ъгъл). Тогава в тази задача ъглополовящата AL и медианата BM образуват ъгли съответно с направленията CB и CA не по-малки от 90 градуса. Единствения вариант сумата им да е 180 градуса е и двата да са прави, т.е. триъгълника да е равностранен.