Ирационално уравнение

[monika_at]

От вчера ме тормози едно уравнение. Ще се радвам някой да удари едно рамо.

[tex]\frac{x^2}{\sqrt{5x+4}}+\sqrt{5x+4}=\frac{4x}{3}+2[/tex]

[Davids]

Аз реших да направя така:
Първо определяме ДС:$x > -\frac{4}{5}$
Полагам $v = \sqrt{5x+4}$
Оттам имам, че всъщност $x = \frac{1}{5}(v^2 - 4)$
Уравнението придобива вида:
$\frac{(v^2 - 4)^2}{25v} + v = \frac{4}{15}(v^2 - 4) + 2$
Превеждаме под общ знаменател:
$3(v^2-4)^2 + 75v^2 = 20v(v^2-4) + 150v$
Прехвърляме отляво и разкриваме $v^2 - 4$:
$3(v+2)^2(v-2)^2 - 20v(v+2)(v-2) + 75v(v-2) = 0$
Първото решение вече се вижда:
$v_1 = 2 \Rightarrow \fbox{x_1 = 0} \in$ДС

Делим на $v-2$ (с уговорката, че двойката я изключваме като вариант вече) и получаваме след раздробяване на израза до основен вид:
$3v^3 - 14v^2 + 23v - 24 = 0$
Аз тръгнах с Хорнер, но свободен член 24 е един от най-кофти вариантите
Общо взето множеството от потенциални нули става $\frac{p}{q} = \pm 1,2,3,4,6,8,12,24,\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}$
Както и да е, ползвах си кодчето, за да ми каже, че реален корен е 3.
$\Rightarrow (v-3)(3v^2 - 5v + 8) = 0$
$v_2 = 3 \Rightarrow \fbox{x_2 = 1} \in$ДС
Останалият вече тричлен е с отрицателна дискриминанта и повече реални корени няма
Вероятно има и някой по-лесен номер за полинома от трета степен, но аз се изчерпвам с Хорнер

[KOPMOPAH]

Повдигнах на втора степен, извърших действията и намерих първия корен $x=0$. Остава уравнението от трета степен $9x^3+10x^2-7x-12=0$. По теоремата на Безу намерих следващия корен $x=1$ (а и се набива в очи, че $10+9-7-12=0$ ), а останалите два корена са комплексни числа.

[monika_at]

Благодаря. Аз видях, че ще стане уравнение от 4 степен и се втурнах да търся друг начин, но явно няма.