5-ъгълник

[ubuntu]

Даден е правилен петоъгълник.Да се раздели на две равнолицеви части с права успоредна на една от страните му.

[kerry]

Всяка права, прекарана през центъра на правилен n-ъгълник го разделя на две равнолицеви части. Това важи, както когато n=5, така и когато правата е успоредна на някоя от основите.

[allier]

И защо да го разделя на равнолицеви, можеш ли да го докажеш? За 6-то ъгълник е очевидно ама за 5-то ъгълник ...

[kerry]

Мога, разбира се. Очевидно е и за четириъгълник. А ти можеш ли да го докажеш за триъгълник?

[dim]

Всяка права, прекарана през центъра на правилен n-ъгълник го разделя на две равнолицеви части. Това важи, както когато n=5, така и когато правата е успоредна на някоя от основите.

Не се обиждай, но това са пълни глупости. Изобщо не е вярно това твърдение. Може да се обобщи само за четни [tex]n[/tex]. Имам решение, но ще го напиша утре, защото съм уморен. Отсечката, която разделя петоъгълника на две равнолицеви части и е успоредна на една от страните му е с дължина [tex]x=a\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}[/tex], където [tex]a[/tex] е страната на петоъгълника. Две от страните му се продължават и се пресичат в т.О. Използва се подобие (изразява се [tex]x^2/a^2[/tex]) и формулата за лице на правилен 5-ъгълник. Оттам се намира и [tex]x[/tex]. Май може и по-геометрично. Ще помисля.

[dim]

Ясно е, че ако AB=BC=...=ED=a, то [tex]S_{ABCDE}=\frac{5a^2}{4}tg{54^\circ }=\frac{5a^2}{4}cotg{36^\circ }[/tex] => [tex]S_1=S_2=\frac{5a^2}{8}cotg{36^\circ }[/tex]. Имаме и [tex]S_3=\frac{a^2}{4}tg{72^\circ }[/tex] От друга страна [tex]\frac{x^2}{a^2}=\frac{S_2+S_3}{S_3}=\frac{\frac{5a^2}{8}cotg{36^\circ }+\frac{a^2}{4}tg{72^\circ }}{\frac{a^2}{4}tg{72^\circ }}=...=\frac{5-tg^2{36^\circ }}{4tg{36^\circ }}[/tex], но [tex]tg{36^\circ }=\sqrt{5-2sqrt{5}}[/tex]=> [tex]\frac{x^2}{a^2}=\frac{5-tg^2{36^\circ }}{4tg{36^\circ }}=...=1+\frac{sqrt{5}}{2}[/tex] => [tex]x=a\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}[/tex]. Изпуснал съм някои сметки, но съм сигурен, че ако някой се съмнява в тях може да ги провери или да ме пита.

ПП. Пропуснах да кажа, че [tex]x[/tex] изразено по този начин в радикали е построимо с линийка и пергел по формален начин => отсечката, която е || на [tex]a[/tex] и рaзполовява ABCDE е построена.

[kerry]

Да. След като написах тези глупости видях, че за триъгълник не е вярно
Но все още не мога да си обясня защо като прекараме произволна права през центъра на тежестта на равнинно тяло то не се разделя на две равнолицеви части. (от физична гледна точка). Продължавам да мисля от къде идва заблудата ми.

[dim]

Предполагам не е трудно да се докаже, че правилен [tex]n[/tex]-ъгълник при [tex]n=2k+1[/tex], няма ос на симетрия, която да е успоредна на една от страните му. Изобщо отсечката която разполовява лицето на този [tex]n[/tex]-ъгълник никога не трябва да минава прец центъра на описаната му окръжност, но може да се направи безкрайно близко до него. Това са само предположения. Възможно е и аз да говоря глупости

[allier]

Има една очевидна права през центъра, която го разделя на две равнолицеви части - например, за равностранен триъгълник - височината, лесно се обобщава за произволен правилен (да го наречем) нечетно-ъгълник.

[Николай Каракехайов]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2545

[ptj]

Да. След като написах тези глупости видях, че за триъгълник не е вярно
Но все още не мога да си обясня защо като прекараме произволна права през центъра на тежестта на равнинно тяло то не се разделя на две равнолицеви части. (от физична гледна точка). Продължавам да мисля от къде идва заблудата ми.

Заблудата ти идва от грешната представа за център на тежеста. Той се определя само от едно единствено векторно равенство. Физичната му интерпретация може да се разглежда в различен аспект, но най-общо ако приложиш сила именно в центъра на тежестта на тяло, то при последвалото движение всяка точка от него ще се характеризира с един същ вектор отразяващ нейното преместване в пространстовото. ( По просто без въртене в каквато и да е било посока.)

Интересно е друго: Ако за една изпъкнала равнинна фигура съществува точка, за която е вярно, че произволна права прекарана през нея (точката) разсича фигурата на две равнолицеви фигури, то съществува централна симетрия при която дадената фигура се изразява сама в себе си и нейния център е точно спомената точка. Това мога да ви го предложа за доказателство. Нещо повече - това твърдение е НДУ.

П.П. Подобно твърдение може да обобщи и за тримерни обекти (равни обеми при пресичане с равнини).

[dgs]

... то съществува централна симетрия при която дадената фигура се изразява сама в себе си и нейния център е точно спомената точка. ...

Извинявай, нещо не разбирам и се чудя:
"нейния" - за симетрията ли става въпрос или за фигурата ?
Ако е за симетрията, какво е "център на централна симетрия" ?
Ако е за фигурата, какво е "център на фигура" ?

[ptj]

Центъра на симетрията естествено.

[Станислав]

И все пак отговори на въпроса "Как се дефинира център на осева симетрия?"

[ptj]

И все пак отговори на въпроса "Как се дефинира център на осева симетрия?"

Престани с писането на глупости и задаването на първолашки въпроси. Аз съм наясно какво пиша, ти ако не си поне ползвай чичко Гугъл.

П.П. И не бъркай централна с осева симетрия. Първата може да се дефинира още и като ротация с ъгъл 180°.