Кълбенце, кълбенце, кой ще те реши?

[emil3993]

В кълбо с радиус R са вписани прави кръгови конуси. Намерете височината на този конус, който има най-голяма околна повърхнина.

[ptj]

Имаме [tex](\frac{h}{2})^2+r^2=R^2[/tex]
[tex]S_1=2\pi r.h[/tex]

От неравенство между средно квадратично и средно геометрично :

[tex]\sqrt{\frac{(\frac{h}{2})^2+r^2}{2}}\ge \sqrt{\frac{h}{2}r}[/tex]
или
[tex]2R^2\pi\ge2\pi r h[/tex]
равенството се достига при [tex]2r=h[/tex]

[KOPMOPAH]

Кълбенце.png (13.38 KiB) Прегледано 497 пъти

Образувателната на конуса е $l=\sqrt{h.2R}$.
Радиусът на конуса е $r=\sqrt{h(2R-h)}$.
Околната повърхнина на прав кръгов конус е $S=\pi \,r\,l=\pi\sqrt{h(2R-h)}\sqrt{h.2R}=\pi\sqrt{4R^2h^2-2Rh^3}$.
Разглеждаме $S$ като функция на $h$. Първата й производна е $S'(h)=\frac{1}{2\sqrt{4R^2h^2-2Rh^3}}(8R^2h-6Rh^2)$. Приравняваме на нула и виждаме, че при $h=0$ и $h=\frac 43 R$ тя се нулира, като очевидно при $h=\frac 43 R$ е максимумът, а при $h=0$ - минимумът на околната повърхнина

[emil3993]

Кълбенце.png

Образувателната на конуса е $l=\sqrt{h.2R}$.
Радиусът на конуса е $r=\sqrt{h(2R-h)}$.
Околната повърхнина на прав кръгов конус е $S=\pi \,r\,l=\pi\sqrt{h(2R-h)}\sqrt{h.2R}=\pi\sqrt{4R^2h^2-2Rh^3}$.
Разглеждаме $S$ като функция на $h$. Първата й производна е $S'(h)=\frac{1}{2\sqrt{4R^2h^2-2Rh^3}}(8R^2h-6Rh^2)$. Приравняваме на нула и виждаме, че при $h=0$ и $h=\frac 43 R$ тя се нулира, като очевидно при $h=\frac 43 R$ е максимумът, а при $h=0$ - минимумът на околната повърхнина

Имаме [tex](\frac{h}{2})^2+r^2=R^2[/tex]
[tex]S_1=2\pi r.h[/tex]

От неравенство между средно квадратично и средно геометрично :

[tex]\sqrt{\frac{(\frac{h}{2})^2+r^2}{2}}\ge \sqrt{\frac{h}{2}r}[/tex]
или
[tex]2R^2\pi\ge2\pi r h[/tex]
равенството се достига при [tex]2r=h[/tex]

Благодаря за бързите отговори, блъснаха ме в лицето .

[emil3993]

Кълбенце.png

Образувателната на конуса е $l=\sqrt{h.2R}$.
Радиусът на конуса е $r=\sqrt{h(2R-h)}$.
Околната повърхнина на прав кръгов конус е $S=\pi \,r\,l=\pi\sqrt{h(2R-h)}\sqrt{h.2R}=\pi\sqrt{4R^2h^2-2Rh^3}$.
Разглеждаме $S$ като функция на $h$. Първата й производна е $S'(h)=\frac{1}{2\sqrt{4R^2h^2-2Rh^3}}(8R^2h-6Rh^2)$. Приравняваме на нула и виждаме, че при $h=0$ и $h=\frac 43 R$ тя се нулира, като очевидно при $h=\frac 43 R$ е максимумът, а при $h=0$ - минимумът на околната повърхнина

Това решение ми е известно, надявах се за по-лесно чудо.

[emil3993]

Имаме [tex](\frac{h}{2})^2+r^2=R^2[/tex]
[tex]S_1=2\pi r.h[/tex]

От неравенство между средно квадратично и средно геометрично :

[tex]\sqrt{\frac{(\frac{h}{2})^2+r^2}{2}}\ge \sqrt{\frac{h}{2}r}[/tex]
или
[tex]2R^2\pi\ge2\pi r h[/tex]
равенството се достига при [tex]2r=h[/tex]

Как стана неравенство?

[Davids]

Фундаментални зависимостни между различните средни ...-ични на кои да е реални числа.
Погледни тук
https://www.math10.com/forumbg/viewtopi ... 5591#15591
Има едно мнение, много добре обговарящо цялата философия на -ичните и неравенствата между тях

[emil3993]

Благодаря.