Две параболи и една окръжност

[Knowledge Greedy]

В правоъгълна координатна система са дадени параболите с уравнения [tex]y=x^2-6x+2[/tex] и [tex]y^2=x+4[/tex]. Да се докаже, че те имат четири пресечни точки и тези четири точки лежат на една окръжност.

[Nathi123]

[tex]\begin{array}{|l} y^{2} =x+ 4 \\ y = x^{2}-6x+2 \end{array}[/tex] . Решаваме със заместване,получаваме:
[tex](x^{2} - 6x +2)^{2}= x + 4 \Leftrightarrow x^{4}-12x^{3} + 40x^{2} - 25x =0 \Rightarrow x =0\cup x=5\cup x=\frac{7\pm\sqrt{29}}{2}\Rightarrow[/tex]
двете параболи имат 4 пресечни точки. Ако почленно извадим двете уравнения на системата получаваме :
[tex]y^{2} - y = -x^{2} +7x +2 \Leftrightarrow (y-\frac{1}{2})^{2} + ( x - \frac{7}{2})^{2}=\frac{29}{2}[/tex] .(1) Следователно координатите на пресечните точки удовлетворяват уравнението (1) т.е. точките са от окръжност с център О[tex]( \frac{7}{2},\frac{1}{2})[/tex] и радиус R=[tex]\frac{\sqrt{58}}{2}[/tex].