Четириъгълник, неизменна сума на лица и права

[Knowledge Greedy]

Четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е изпъкнал, а [tex]k[/tex] е положително реално число. Докажете, че всички точки [tex]M[/tex] в равнината на четириъгълника, за които [tex]S_{ABM}+S_{CDM}=k[/tex], лежат на една права.

[grav]

Не изглежда вярно. Вземи квадрат със старна 1 и [tex]k=\frac12[/tex], тогава всички точки между правите [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] ще удоволетворяват условието пък не са на една права.

[Knowledge Greedy]

Изглежда grav » Вто Мар 21, 2017 1:41 pm е открил двойна аномалия - за фигурата и за константата [tex]k[/tex].
За да бъде спасена идеята на задачата се налага да направя уточнение.

Четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е изпъкнал и няма център на симетрия или ос на симетрия, а [tex]k[/tex] е реално число, [tex]k>\frac{1}{2}S_{ABCD}[/tex]. Докажете, че всички точки [tex]M[/tex] в равнината на четириъгълника, за които [tex]S_{ABM}+S_{CDM}=k[/tex], лежат на една права.

[grav]

Ако е разрешено да се използват координати, след малко сметки се получава. Има ли по-хитър начин?

[monika_at]

Ако една точка лежи на Гаусовата права, за нея е изпълнено даденото равенство. Аз обаче се задавам въпроса, ако е изпълнено това равенство, дали непременно точката е от тази права?

[drago]

Не знам какво е Гаусова права, обаче лесно е да се провери следното:

Ако за $M_1$ и $M_2$ е изпълнено [tex]S_{ABM_i}+S_{CDM_i}=k, i=1,2[/tex] то и всяка точка на отсечката(правата) $M_1M_2$ удовлетворяава същото.
Доказателството е елементарно като се използва как се изразява в трапеца успоредната на двете основи отсечка посредством същите тези основи.

[Knowledge Greedy]

... Ако за [tex]M_1[/tex] и [tex]M_2[/tex] е изпълнено [tex]S_{ABM_i}+S_{CDM_i}=k, i=1,2[/tex] то и всяка точка на отсечката(правата) [tex]M_1M_2[/tex] удовлетворяава същото.
Доказателството е елементарно като се използва как се изразява в трапеца успоредната на двете основи отсечка посредством същите тези основи.

Да, разбира се. Но за да сме независими от допълнителни построения, в търсене на подходящ трапец, може да постъпим така - в триъгълници с обща височина и равни основи.

Четириъгълникът и правата 1.png (7.26 KiB) Прегледано 612 пъти

Нека двойката прави [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] се пресичат в точка [tex]X \,\ (\ast)[/tex]. Без ограничение на общността, считаме че т. [tex]X[/tex] е както на чертежа.
Върху лъча [tex]XD^{\rightarrow }[/tex] нанасяме отсечка [tex]XY=CD[/tex]. Явно така триъгълниците [tex]\Delta CDM[/tex] и [tex]\Delta XYM[/tex] са равнолицеви, поради общата височина и равните основи.
Върху лъча [tex]XA^{\rightarrow }[/tex] нанасяме отсечка [tex]XZ=AB[/tex]. Явно триъгълниците [tex]\Delta ABM[/tex] и [tex]\Delta XZM[/tex] са равнолицеви, поради общата височина и равните основи.
Следователно [tex]S_{\Delta ABM}+S_{\Delta CDM}=S_{XYMZ}[/tex]

Четириъгълникът и правата 2.png (6.56 KiB) Прегледано 612 пъти

Да забележим, че [tex]S_{XYZ}=const[/tex]

Тъй като [tex]S_{XYMZ}=S_{XYZ}+S_{XYM}[/tex], то за да бъде [tex]S_{XYMZ}=k[/tex], за две различни точки [tex]M_i[/tex] и [tex]M_j[/tex]

Четириъгълникът и правата 3.png (8.52 KiB) Прегледано 612 пъти

т.е. необходимо и достатъчно условие [tex]S_{XYM_iZ}=S_{XYM_jZ}[/tex] ще бъде [tex]S_{XYM_i}=S_{XYM_j}[/tex]
Това пък означава, че тези две точки [tex]M_i[/tex] и [tex]M_j[/tex] ще се намират на едно и също разстояние от правата [tex]XY[/tex] (която определихме еднозначно). Всички такива точки представляват права [tex]m||XY[/tex] - к.т.д.
___________
([tex]\ast)[/tex] Поне една от двойките прави съдържащи страните на четириъгълника има това свойство, в противен случай ще се получи успоредник, правоъгълник или квадрат.
___________
На практика това е конструктивно решение - с посочване на множеството от точки, точно така, както би се получило и с координати, както предлага grav

Ако е разрешено да се използват координати, след малко сметки се получава. ...

[Knowledge Greedy]

Погледнах си края на решението на тази задача и се ужасих От размяната на имената на две точки -
X и Z се е получило нещо абсолютно неразбираемо, независимо от добрия чертеж. За това повтарям края на решението така, както съм си мислел, че го правя (без промяна на чертежа).

Четириъгълникът и правата3.png (8.51 KiB) Прегледано 584 пъти

Да забележим, че [tex]S_{XYZ}=const[/tex]
Тъй като [tex]S_{XYMZ}=S_{XYZ}+S_{YZM}[/tex] , то за да бъде [tex]S_{XYMZ}=k[/tex], трябва [tex]S_{YZM}[/tex] да бъде неизменно.
Следователно за две различни точки [tex]M_i[/tex] и [tex]M_j[/tex] за да бъде изпълнено [tex]S_{XYM_iZ}=S_{XYMjZ}[/tex]
необходимо и достатъчно условие ще бъде [tex]S_{YZM_ i } = S_{YZM_ j }[/tex]
Това пък означава, че тези две точки [tex]M_i[/tex] и[tex]M_j[/tex] ще се намират на едно и също разстояние от правата [tex]YZ[/tex] (която определихме еднозначно). Всички такива точки представляват права [tex]m||YZ[/tex] - к.т.д.