Интересно неравенство

[123a]

Задачата ми се стори интересна и затова реших да я постна тук. Отговор нямам.

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които неравенството

$x^4+(x+1)((3a-2)x^2+(2a^2-a-3)(x+1))\ge0$ е изпълнено ва всяко реално х.

[emil3993]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%2B%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(%5Cleft(3a-2%5Cright)x%5E2%2B%5Cleft(2a%5E2-a-3%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cright)%5Cge+0
Може би условието гласи целите числа:{2, 3}

[123a]

Условието си е така в оригинал.

[b1ck0]

Аз ли не разбирам нещо ... във Волфрам си пише

[tex]\frac{3}{2} \le а \le 3; x \in R[/tex]

[123a]

Аз виждам какво пише във Волфрам, но ми се искаше по-подробно разписване

[ptj]

Какво още, след като са ти го представили като произведение на две парамерични квадратни неравенства?

[kmitov]

Може би въпросът е как да се разложи на това произведение? Може да се опита като се разгледа като квадратно уравнение спрямо $a$ с параметър $x$.

[monika_at]

Разкриваме скобите и получаваме [tex]x^4+(3a-2)x^2(x+1)+(2a^2-a-3)(x+1)^2\ge0[/tex] Очевидно при [tex]x=-1[/tex] неравенството е изпълнено. Нека [tex]x\ne-1[/tex]. Делим почленно на [tex](x+1)^2[/tex] =>

[tex][\frac{x^2}{x+1}]^2+(3a-2)\frac{x^2}{x+1}+(2a^2-a-3)\ge0[/tex]. Полагаме [tex]\frac{x^2}{x+1}=t[/tex]
Новата променлива приема стойности [tex]t\in(-\infty; -4]\cup[0;+\infty)[/tex]
Тогава задачата се свежда до: За кои стойности на параметъра а неравенството [tex]t^2+(3a-2)t+(2a^2-a-3)\ge 0[/tex], за всяко [tex]t\in(-\infty; -4]\cup[0;+\infty)[/tex]

[123a]

А може ли след като се стигна до наверенството $f(t)\ge0$, задачата да се формулира така: За кои стойности на параматъра а неравенството $f(t)\ge0$ няма решение в интервала [-4;0] , след което като краен резултат да вземем отрицанието на получения отговор?

[monika_at]

Да, но в отворения интервал.

[S.B.]

[tex]x^{4}[/tex]+(x+1){(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x+1)][tex]\ge[/tex]0
[tex]x^{4}[/tex][tex]\ge[/tex]0 винаги,независимо от "а"
Следователно трябва да се разгледа кога (x+1){(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x=1)][tex]\ge[/tex]0
Разглеждаме 2 случая:
1. (x+1)[tex]\ge[/tex]0 и едновременно (3а-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]а^{2}[/tex]-а-3)(x+1)[tex]\ge[/tex]0
2. (x+1)[tex]\le[/tex]0 и едновременно (3а-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]а^{2}[/tex]-а-3)(x+1)[tex]\le[/tex]0
Нека x+1[tex]\ge[/tex]0 т.е. x[tex]\ge[/tex]-1
(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)x+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)[tex]\ge[/tex]0
за това е необходимо : 3а-2[tex]\ge[/tex]0 и D[tex]\le[/tex]0
D=(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(2[tex]a^{2}[/tex]-13a+5)=4(a+1)(a-0,4)(a-1,5)(a-6,1)[tex]\le[/tex]0
3а-2[tex]\ge[/tex]0 тогава а[tex]\ge[/tex]0,67(приблизително)
тогава след решаване на неравенството за D окончателно се получава а[tex]\in[/tex][1,5;6,1] когато x[tex]\in[/tex][-1;+[tex]\infty[/tex])
При случай 2.,когато x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-1]
като се вземе предвид,че D[tex]\le[/tex]0 и 3a-2[tex]\le[/tex]0 след решение на неравенствата се получава a[tex]\in[/tex][-1;0,4]

[xixibg]

[tex]x^{4}[/tex]+(x+1){(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x+1)][tex]\ge[/tex]0
[tex]x^{4}[/tex][tex]\ge[/tex]0 винаги,независимо от "а"
Следователно трябва да се разгледа кога (x+1){(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x=1)][tex]\ge[/tex]0
Разглеждаме 2 случая:
1. (x+1)[tex]\ge[/tex]0 и едновременно (3а-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]а^{2}[/tex]-а-3)(x+1)[tex]\ge[/tex]0
2. (x+1)[tex]\le[/tex]0 и едновременно (3а-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]а^{2}[/tex]-а-3)(x+1)[tex]\le[/tex]0
Нека x+1[tex]\ge[/tex]0 т.е. x[tex]\ge[/tex]-1
(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)x+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)[tex]\ge[/tex]0
за това е необходимо : 3а-2[tex]\ge[/tex]0 и D[tex]\le[/tex]0
D=(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(2[tex]a^{2}[/tex]-13a+5)=4(a+1)(a-0,4)(a-1,5)(a-6,1)[tex]\le[/tex]0
3а-2[tex]\ge[/tex]0 тогава а[tex]\ge[/tex]0,67(приблизително)
тогава след решаване на неравенството за D окончателно се получава а[tex]\in[/tex][1,5;6,1] когато x[tex]\in[/tex][-1;+[tex]\infty[/tex])
При случай 2.,когато x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-1]
като се вземе предвид,че D[tex]\le[/tex]0 и 3a-2[tex]\le[/tex]0 след решение на неравенствата се получава a[tex]\in[/tex][-1;0,4]

Така няма да получиш вярно решение....
Ако [tex]x^4 \ge |(x+1)(3a-2)x^{2}+(2a^{2}-a-3)(x+1)|[/tex] и [tex](x+1)(3a-2)x^{2}+(2a^{2}-a-3)(x+1)
<0[/tex] даденото неравенство ще е вярно , а твоя отговор го изключва.

[S.B.]

Нека А=[tex]x^{4}[/tex],Очевидно А[tex]\ge[/tex]0 за[tex]\forall[/tex]x
Нека B=(x+1)[(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x+1)]
За B се получава че B[tex]\ge[/tex]0 когато а[tex]\in[/tex][-1;0,4] [tex]\cup[/tex][1,5;6,1] за x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];+[tex]\infty[/tex])
Тогава А+B[tex]\ge[/tex]0 за получените стойности на параметъра "а" за всяко x.
Струва ми се,че точно това се търси - стойностите на "а" за които за всяко x е изпълнено неравенството.Или не е съм разбрала условието?

[S.B.]

[tex]x^{4}[/tex]+(x+1){(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x+1)][tex]\ge[/tex]0
[tex]x^{4}[/tex][tex]\ge[/tex]0 винаги,независимо от "а"
Следователно трябва да се разгледа кога (x+1){(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(x=1)][tex]\ge[/tex]0
Разглеждаме 2 случая:
1. (x+1)[tex]\ge[/tex]0 и едновременно (3а-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]а^{2}[/tex]-а-3)(x+1)[tex]\ge[/tex]0
2. (x+1)[tex]\le[/tex]0 и едновременно (3а-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]а^{2}[/tex]-а-3)(x+1)[tex]\le[/tex]0
Нека x+1[tex]\ge[/tex]0 т.е. x[tex]\ge[/tex]-1
(3a-2)[tex]x^{2}[/tex]+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)x+(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)[tex]\ge[/tex]0
за това е необходимо : 3а-2[tex]\ge[/tex]0 и D[tex]\le[/tex]0
D=(2[tex]a^{2}[/tex]-a-3)(2[tex]a^{2}[/tex]-13a+5)=4(a+1)(a-0,4)(a-1,5)(a-6,1)[tex]\le[/tex]0
3а-2[tex]\ge[/tex]0 тогава а[tex]\ge[/tex]0,67(приблизително)
тогава след решаване на неравенството за D окончателно се получава а[tex]\in[/tex][1,5;6,1] когато x[tex]\in[/tex][-1;+[tex]\infty[/tex])
При случай 2.,когато x[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-1]
като се вземе предвид,че D[tex]\le[/tex]0 и 3a-2[tex]\le[/tex]0 след решение на неравенствата се получава a[tex]\in[/tex][-1;0,4]

Така няма да получиш вярно решение....
Ако [tex]x^4 \ge |(x+1)(3a-2)x^{2}+(2a^{2}-a-3)(x+1)|[/tex] и [tex](x+1)(3a-2)x^{2}+(2a^{2}-a-3)(x+1)
<0[/tex] даденото неравенство ще е вярно , а твоя отговор го изключва.

Не разбирам за кои стойности на "а" ще е вярно?Би ли пояснил,моля те.

[xixibg]

Какво не ти стана ясно?
Ако [tex]F(x)=x^4[/tex] и [tex]G(x)=x^2(x+1)(3a-2)+(x+1)^2(2a^2-a-3)[/tex]
и за някоя стойност на [tex]a[/tex] е изпълнено:[tex]\begin{cases} F{x} \ge 0 \forall x\in \mathbb{R} \\ G(x) \le 0 \\F(x) \ge |G(X)|\forall x\in \mathbb{R} \end{cases}[/tex]
То тази стойност ще е решение на задачата , а ти поставяш условие [tex]G(x) \ge 0[/tex] , което не е задължително

[S.B.]

Какво не ти стана ясно?
Ако [tex]F(x)=x^4[/tex] и [tex]G(x)=x^2(x+1)(3a-2)+(x+1)^2(2a^2-a-3)[/tex]
и за някоя стойност на [tex]a[/tex] е изпълнено:[tex]\begin{cases} F{x} \ge 0 \forall x\in \mathbb{R} \\ G(x) \le 0 \\F(x) \ge |G(X)|\forall x\in \mathbb{R} \end{cases}[/tex]
То тази стойност ще е решение на задачата , а ти поставяш условие [tex]G(x) \ge 0[/tex] , което не е задължително

О.К.!
Ще разгледам и този случай!
С уважение:S.B.

[spy]

Разкриваме скобите и получаваме [tex]x^4+(3a-2)x^2(x+1)+(2a^2-a-3)(x+1)^2\ge0[/tex] Очевидно при [tex]x=-1[/tex] неравенството е изпълнено. Нека [tex]x\ne-1[/tex]. Делим почленно на [tex](x+1)^2[/tex] =>

[tex][\frac{x^2}{x+1}]^2+(3a-2)\frac{x^2}{x+1}+(2a^2-a-3)\ge0[/tex]. Полагаме [tex]\frac{x^2}{x+1}=t[/tex]
Новата променлива приема стойности [tex]t\in(-\infty; -4]\cup[0;+\infty)[/tex]
Тогава задачата се свежда до: За кои стойности на параметъра а неравенството [tex]t^2+(3a-2)t+(2a^2-a-3)\ge 0[/tex], за всяко [tex]t\in(-\infty; -4]\cup[0;+\infty)[/tex]

Аз получавам отговор [tex]a\in[\frac{3}{2};3] \cup {4}[/tex]

[spy]

А може ли след като се стигна до наверенството $f(t)\ge0$, задачата да се формулира така: За кои стойности на параматъра а неравенството $f(t)\ge0$ няма решение в интервала [-4;0] , след което като краен резултат да вземем отрицанието на получения отговор?

Според мен това не е вярно. Като вземем отрицанието на това твърдение, ние ще получим отговора, за който има решение в интервала [-4;0]. А ние търсим кога всяка стойност ∈(−∞;−4]∪[0;+∞) е решение.