Квадратична форма и права

[Knowledge Greedy]

Ако за двойките реални числа [tex](x;y)[/tex] е изпълнено [tex]x^2+y^2=14x+6y+6[/tex], каква е най-голямата стойност, която може да приема сборът [tex]3x+4y \,\ ?[/tex]

[monika_at]

Грейди, случайно да е 73? Ако е така, ще напиша решение, ако не- ще продължавам да мисля.

[Alex98]

[tex]x^2+y^2=14x+6y+6 \Leftrightarrow x^2-14x+49+y^2-6y+9=49+9+6 \Leftrightarrow (x-7)^2+(y-3)^2=64[/tex]
Това е окръжност с център (7;3) и радиус 8.Нека [tex]x-7=u \Rightarrow x=u+7 ; y-3=v \Rightarrow y=v+3[/tex]
Търсим максимума на [tex]A=3x+4y=3u+21+4v+12=3u+4v+33[/tex], където [tex]u^2+v^2=64[/tex]
[tex]\Rightarrow u=\sqrt{64-v^2} \Rightarrow A(v)=3\sqrt{64-v^2}+4v+33[/tex]
[tex]A'(v)=\frac{3(64-v^2)'}{2\sqrt{64-v^2}}+4=\frac{3(-2v)}{2\sqrt{64-v^2}}+4=4-\frac{3v}{\sqrt{64-v^2}}[/tex]
[tex]A'(v)=0 \Rightarrow 4=\frac{3v}{\sqrt{64-v^2}} \Rightarrow 4\sqrt{64-v^2}=3v \Rightarrow 16.64-16v^2=9v^2 \Rightarrow v^2=\frac{1024}{25} \Rightarrow v=\frac{32}{5}[/tex]
Разглеждам [tex]v[/tex] само в допустимите стойности [tex]v\in[-8;8][/tex], като след повдигането на квадрат разглеждам само неотрицателните стойности за [tex]v[/tex]
Сега намирам [tex]u=\sqrt{64-v^2}=\sqrt{64-\frac{32^2}{25}}=\sqrt{\frac{64.25-32^2}{25}}=\sqrt{\frac{40^2-32^2}{25}}=\sqrt{\frac{8.72}{25}}=\pm\frac{24}{5}[/tex]
Максимум за А ще получим при положителната стойност на [tex]u[/tex]
[tex]\Rightarrow A_{MAX}=3u+4v+33=3.\frac{24}{5}+4.\frac{32}{5}+33=\frac{72}{5}+\frac{128}{5}+33=\frac{200}{5}+33=73[/tex]

[monika_at]

Моето решение е сходно, но е тригонометрично. Ясно е, че х и у удовлетворяват уравнението на окръжността [tex](x-7)^2+(y-3)^2=64[/tex], която е с радиус [tex]R=8[/tex]. Да разделим двете страни на 64. Тогава

[tex](\frac{x-7}{8})^2 +(\frac{y-3}{8})^2=1[/tex]. Вече можем да считаме, че имаме единична (тригонометрична) окръжност, за точките на които координатите са синус и косинус на един и същи ъгъл. Тогава да положим:

[tex]sin\varphi=\frac{x-7}{8}; cos\varphi=\frac{y-3}{8}[/tex]. Ясно е, че [tex]asin\varphi + bcos\varphi \le \sqrt{a^2+b^2}=>3sin\varphi + 4cos\varphi \le 5[/tex]=>

[tex]3.\frac{x-7}{8} + 4. \frac{y-3}{8}\le5=>3x+4y\le 73[/tex]

[grav]

Друг начин е: максималната (минималната също) стойност [tex]c[/tex] на израза се достига, когато правата [tex]3x+4y=c[/tex] е допирателна до окръжноста. Което може да се намери след заместване.