Покриване на една точка от кръг

[Knowledge Greedy]

Триъгълникът [tex]\Delta ABC[/tex] има за център на описаната окръжност точка [tex]O[/tex], а медицентър - точката [tex]G[/tex]. Измежду страните на триъгълника [tex]AB[/tex] е най-голямата. Да се докаже, че точката [tex]G[/tex] се намира във вътрешността на кръга с диаметър [tex]OC[/tex].

[monika_at]

Реших задачата, довечера ще пусна решение.

[monika_at]

Нека [tex]S[/tex]е среда на [tex]OC=R[/tex]. Ще ползвам формулата на Лайбниц, която гласи, че квадратът на разстоянието от произволна вътрешна точка за триъгълник до медицентъра му е [tex]SG^2=\frac{1}{3}(SA^2+SB^2+SC^2)-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)[/tex]
За да докажем, че G е вътрешна точка за кръга с радиус [tex]\frac{R}{2}[/tex], трябва да докажем, че [tex]GS<\frac{R}{2}[/tex] или [tex]GS^2<\frac{R^2}{4}[/tex]. За целта образуваме разликата
[tex]SG^2-\frac{R^2}{4}=\frac{1}{3}(SA^2+SB^2+SC^2)-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)-\frac{R^2}{4}[/tex] (*)

[tex]SA[/tex]е медиана в [tex]\Delta AOC=>SA^2=\frac{1}{4}(2b^2+2R^2-R^2)[/tex]. Аналогично [tex]SB^2=\frac{1}{4}(2a^2+2R^2-R^2)[/tex]; [tex]SC=\frac{R}{2}[/tex]. Заместваме тези изрази в (*) и след опростяване получаваме, че
[tex]SG^2-\frac{R^2}{4}=\frac{1}{36}(2a^2+2b^2-4c^2)=\frac{1}{18}(a^2+b^2-2c^2)<0 (a<c; b<c)[/tex]

S_in_OC.png (30.55 KiB) Прегледано 630 пъти

[Marshal]

Ето още едно:

Нека [tex]A'[/tex] и [tex]B'[/tex] са средите на [tex]BC[/tex] и [tex]AC[/tex]. Тъй като [tex]AB > AC[/tex], то [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] са в една полуравнина спрамо [tex]A'O[/tex], откъдето [tex]G[/tex] и [tex]C[/tex] са в една полуравнина спрямо [tex]A'O[/tex]. Аналогично [tex]G[/tex] и [tex]C[/tex] са в една полуравнина спрямо [tex]B'O[/tex]. Тогава [tex]G[/tex] се намира в четириъгълника [tex]CB'OA'[/tex], който е вписан в окръжността с радиус [tex]OC[/tex]. [tex]\square[/tex]