Геометрично неравенство

[monika_at]

Ъглите на [tex]\Delta ABC[/tex] са свързани с неравенството [tex]3\alpha-\gamma<\pi[/tex]. [tex]\angle ABC[/tex] е разделен на четири равни части чрез прави, пресичащи [tex]AC[/tex].Тези прави разделят [tex]AC[/tex] на четири отсечки. Да се докаже, че третата отсечка от [tex]AC[/tex], считано от [tex]A[/tex], е по-малка от [tex]\frac{1}{4}AC[/tex].

[Knowledge Greedy]

monika_at, дай решение, че се измъчихме, пък измина и повече от седмица

[monika_at]

Привечер ще го пусна, Грейди

[monika_at]

Означаваме стандартно страните и ъглите на триъгълник АВС и нека [tex]BL=l[/tex].
От свойството на ъглополовящата BL за [tex]\Delta ABC=>LC=\frac{ab}{a+c}[/tex]
От същото свойство, приложено за ъглополовящата [tex]BM[/tex] за [tex]\Delta BLC=> LM=LC.\frac{BL}{BL+BC}=\frac{ab}{a+c}.\frac{l}{l+a}=\frac{ab}{a+c}.(1-\frac{a}{a+l})[/tex]
=>
[tex]\angle BLA=\frac{\beta}{2}+\gamma=\frac{\pi-\alpha+\gamma}{2}>\alpha[/tex], защото [tex]\gamma>2\alpha-\pi=>c>l=>[/tex]

[tex]LM=\frac{ab}{a+c}.(1-\frac{a}{a+l})<\frac{ab}{a+c}(1-\frac{a}{a+c})=b\frac{ac}{(a+c)^2}\le\frac{b}{4}[/tex] (последното е СА-СГ)

LM.png (21.75 KiB) Прегледано 405 пъти