Лесна задача

[monika_at]

Да се докаже, че описаната около триъгълник окръжност не може да мине през центъра на външновписана окръжност.

[Alex98]

Нека О е центъра на външно вписаната окръжност на [tex]\Delta ABC[/tex] допираща се до страната [tex]BC[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CBO =90^\circ-\frac{\beta}{2} ; \angle BCO=90^\circ - \frac{\gamma}{2} \Rightarrow \angle BOC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex]
За да може да опишем окръжност около четириъгълника [tex]ABOC[/tex] е необходимо [tex]\angle BAC+ \angle BOC=180^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow 180= 90^\circ-\frac{\alpha}{2}+\alpha=90^\circ+\frac{\alpha}{2} \Rightarrow \alpha=180^\circ[/tex] което е противоречие
[tex]\Rightarrow О[/tex] не лежи на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност