Квадрат 7 клас

[selin.ilhan14]

Точка M е от страната AB на квадрата ABCD. Разстоянията от M до диагоналите AC и BD са 1 cm и 2 cm . Диагоналът на квадрата е колко?

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме триъгълника със страни: върху диагонала на квадрата; върху страната на квадрата и върху диагонала на получения от перпендикулярите правоъгълник.
Едно определение за тангенс, от него синуса на същия ъгъл. Заедно с ъгъла [tex]45^\circ[/tex], който сключва диагоналът на квадрата със страната на квадрата - по синусова теорема откриваме половинката от диагонала на квадрата (- равна е на 3 см) и след това откриваме страната, че е [tex]\sqrt{3}[/tex].

[Добромир Глухаров]

Квадрат.png (13.48 KiB) Прегледано 804 пъти

$\Delta AMP$ - правоъгълен равнобедрен. $AP=MP=1$

$PMNO$ - правоъгълник - $PO=MN=2$

$AO=AP+PO=1+2=3\Rightarrow AC=2AO=6$

$AC=AB\sqrt{2}\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{AC\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel{6}^3\sqrt{2}}{\cancel{2}^1}=3\sqrt{2}$

[Knowledge Greedy]

Навярно е глупаво да предлагам решение, след превъзходното решение на Добромир Глухаров » Чет Май 18, 2017 3:25 pm.
Но ето ви една гледна точка - на загубил се в представите си абитуриент, който прекалено много разчита на тригонометрията.

Изкривената гледна точка на един абитуриент.png (4.85 KiB) Прегледано 767 пъти

Разглеждаме [tex]\Delta OCZ[/tex]
[tex]OZ=\sqrt{5}[/tex]
[tex]OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}} \,\ \Rightarrow \,\ sin\angle OZC=sin(45^\circ+\varphi)=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}[/tex]
По синусова теорема
[tex]\frac{OZ}{sin45^\circ}=\frac{OC}{sin(45^\circ+\varphi)}[/tex]
и оттук с малко сметки намираме половинката от диагонала [tex]OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}=3[/tex]
Значи диагоналът [tex]AC=6[/tex]. Друго не се търси