Прости числа

[SMR]

Задача. Съществува ли естественo число [tex]m[/tex] такова, че уравнението [tex]x_1^{2010}+x_2^{2010}+\cdots+x_m^{2010}=x_{m+1}^{2010}+x_{m+2}^{2010}+\cdots+x_{2m}^{2010}[/tex]
има решение в различни прости числа [tex]x_1, x_2, \ldots, x_{2m}[/tex]?

[Baronov]

Колкото и странно да звучи такива числа съществуват.
Нека да фиксираме естествените числа l<n. Да разгледаме първите n прости числа и по-точно всички суми на 2010-ти степени на l от тях. Целта е да докажем, че 2 от тези суми са равни. Ако допуснем, че това е така и премахнем простите числа, които присъстват и в двете l-орки, ще получим решение на уравнението от условието за някое [tex]m \leq l[/tex].
Ще използваме принципа на Дирихле. Броят на всички тези суми е [tex]n \choose l[/tex], а най-голямата възможна сума е очевидно по-малка от [tex]lp_n^{2010}[/tex]. Ще използваме оценката [tex]p_n \approx nlogn[/tex] и по-точно следствието [tex]p_n < n^2[/tex] (което предполагам може да се докаже с елементарни средства). От това следствие задачата се свежда до намиране на n и l за които :
[tex]{n \choose l} > ln^{4020}[/tex]. Фиксираме l > 4020, тогава дясната страна е полином на n от степен 4020, а лявата страна е полином на n от строго по-голяма степен. Очевидно за големи n исканото неравенство е в сила.

[martosss]

А някакъв конкретен пример можеш ли да дадеш?

[Baronov]

А някакъв конкретен пример можеш ли да дадеш?

Не. Принципът на Дирихле гарантира съществуване, но не показва конкретни примери.

[SMR]

Да! Впечатлен съм от бързината с която си написал решението, предполагам си решил задачата наум

[SMR]

Интересен резултат свързан с простите числа :

P1. Нека [tex]n[/tex] е естествено число. Тогава съществува естествено число [tex]m\le 2^n[/tex] такова, че системата диофантови уравнения
[tex]x_1^k+x_2^k+\cdots+x_m^k=x_{m+1}^k+x_{m+2}^k+\cdots+x_{2m}^k,\ \ k=1,2,\ldots,n[/tex]

има решение в различни прости числа [tex]x_1,x_2,\ldots,x_{2m}[/tex].