Педален триъгълник

[Milenaa]

Докажете, че радиусът на описаната окръжност около триъгълник е два пъти по-голям от радиуса на описаната окръжност около педалния му триъгълник.

[Nathi123]

Ако триъг. АВС е правоъгълен неговият педален триъгълник се изражда в отсечка - височината към хипотенузата. Ще разгледам триъг.,който не е правоъгълен. Ще използвам следните твърдения ,ако АВ = с
[tex]\angle ACB=\gamma ; CC_{1 }\bot AB ; AA_{1 } \bot BC ; BB_{1 }\bot AC[/tex],то :
[tex]1. \Delta A_{1 }B_{1 }C \approx \Delta BAC ; \frac{A_{1 }B_{1 }}{AB} =|cos\gamma|[/tex] ( Триъгълниците са подобни например по ІІ-ри пр.)
2.[tex]\angle A_{1 }C_{1 }B_{1 }=\begin{cases} 180^\circ -2\gamma, при \gamma< 90^\circ .\\ 2\gamma - 180^\circ , при \gamma >90^\circ.\end{cases}[/tex]
От син. т-ма за [tex]\Delta ABC \Rightarrow \frac{c}{sin\gamma} =2R\Rightarrow c=2Rsin\gamma[/tex] ( R-радиус на оп. около триъг. АВС окр.)
От син. т-ма за [tex]\Delta A_{1 }B_{1 }C_{1 }\Rightarrow \frac{A_{1 }B_{1 }}{sin(180^\circ -2\gamma)}=2R_{1 },[/tex] при [tex]\gamma <90^\circ[/tex]( [tex]R_{1 }[/tex] - рад на описаната около [tex]\Delta A_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex] окр.)
[tex]\Rightarrow A_{1 }B_{1 }=c.cos \gamma =2Rsin\gamma cos\gamma \Rightarrow \frac{2Rsin\gamma.cos\gamma}{2 sin\gamma cos\gamma} =2R_{1 }\Rightarrow R = 2R_{1 }[/tex].
Ако [tex]\gamma >90^\circ \Rightarrow \frac{-c.cos\gamma}{sin(2\gamma-180^\circ)} =2R_{1 }; sin (2\gamma - 180^\circ) = -sin2\gamma \Rightarrow \frac{-2Rsin\gamma cos\gamma }{-2sin\gamma cos\gamma} =2R_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow R =2R_{1 }[/tex].

[Knowledge Greedy]

Педален триъгълник на даден [tex]\triangle ABC[/tex] наричат триъгълника [tex]\triangle A_2B_2C_2[/tex] с върхове - петите на неговите височини [tex]AA_2, BB_2[/tex] и [tex]CC_2[/tex].
Като идея на геометрично решение: въпросните пети [tex]A_2, B_2[/tex] и [tex]C_2[/tex] са три от привилегированите 9 точки от теоремата на Ойлер за окръжността на деветте* точки.

Педалният триъгълник орто.png (9.94 KiB) Прегледано 1001 пъти

Други три сред деветте точки са средите [tex]A_1, B_1[/tex] и [tex]C_1[/tex] на страните на дадения [tex]\triangle ABC[/tex].

Окръжността на 9те точки.png (8.76 KiB) Прегледано 1001 пъти

И тъй като [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex] е триъгълникът със страни средните отсечки на дадения, и [tex]\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2[/tex], с коефициент [tex]k=\frac{1}{2}[/tex] , то веднага следва твърдението на задачата.
Остава само да припомним, как се установява принадлежността на всичките тези 9 точки на една окръжност.

ОПИСАНАТА МЕДИЦЕНТЪР ОРТОЦЕНТЪР.png (8.67 KiB) Прегледано 1001 пъти

Всичко започва от колинеарността на точките [tex]O, G[/tex] и [tex]H[/tex] - центърът на описаната окръжност, медицентъра и ортоцентъра. След това изясняваме, че средата [tex]N[/tex] на отсечката [tex]OH[/tex] е център на описаната окръжност около [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex], а от това, че е обща за симетралите на отсечките [tex]A_1A_2, B_1B_2[/tex] и [tex]C_1C_2[/tex] - се уверяваме, че [tex]N \equiv O_9[/tex] и точките [tex]A_2, B_2[/tex] и [tex]C_2[/tex] са върху същата окръжност.
___________
*Говори се, че били дори 13 от по-забележителните, но това е друга тема.
___________
Предполагам, че през втория учебен срок ще се намерят осмокласници, които в реално време да разберат тази задача.