Правоъгълен триъгълник,който ме мъчи вече цял месец!

[S.B.]

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник има дължина = c, а медицентърът му лежи на вписаната в него окръжност.Да се намерят катетите.

[inveidar]

Знаеш ли отговорите?

[S.B.]

Знаеш ли отговорите?

Отговори не са дадени,а аз получавам изключително "шантави" неща!

[Knowledge Greedy]

Избираме координатна система с начало върха [tex]C[/tex] на правия ъгъл и оси с положителни посоки по катетите на [tex]\triangle ABC[/tex]

Медицентър върху вписаната окръжност.png (4.12 KiB) Прегледано 578 пъти

Така [tex]C(0; 0)[/tex], [tex]B(0; b)[/tex] и [tex]A(a; 0)[/tex].
Медицентърът [tex]G\left ( \frac{a+0+0}{3}; \frac{0+b+0}{3} \right )[/tex] , т. е. [tex]G\left ( \frac{a}{3}; \frac{b}{3} \right )[/tex]
Центърът на вписаната окръжност [tex]I \left ( r;r \right )[/tex]
и уравнението на вписаната окръжност e
[tex]\omega : \left ( x-r \right )^2+\left ( y-r \right )^2=r^2[/tex]
Понеже
[tex]G \in \omega[/tex], то [tex]\left ( \frac{a}{3}-r \right )^2+\left ( \frac{b}{3}-r \right )^2=r^2[/tex]
От последното уравнение
[tex]\frac{a^2+b^2}{9}-\frac{2(a+b)}{3}r+r^2=0[/tex]
Тъй като c е дадено, а по Питагор [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
и още - в правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex]
радиусът [tex]r=p-c[/tex],
в полученото уравнение насочваме усилия да определим [tex]p[/tex].
[tex]\frac{c^2}{9}-\frac{2(2p-c)}{3}(p-c)+(p-c)^2=0[/tex]
След преобразувания се получава непълното квадратно уравнение
[tex]3p^2-4c^2=0[/tex],
с допустим корен [tex]p=\frac{2c}{\sqrt{3}}[/tex]
Връщаме се към катетите.
От системата [tex]\left|\begin{matrix}
a+b & = \left ( \frac{4}{\sqrt{3}}-1 \right )c \\
a^2+b^2 & = c^2
\end{matrix}\right .[/tex]
намираме катетите.

[S.B.]

Благодаря Ви! С вашето решение на проблема,Вие ми напомнихте,че освен елементарна геометрия,съществува и аналитична геометрия!
Аз междувременно успях да се справя с методите на елементарната геометрия и ще публикувам решението,за да бъде в помощ на децата,
за които аналитичната геометрия е все още непозната.Все пак мисля,че е етично да изчакам и други мнения на колеги от форума.Още веднъж горещо Ви благодаря и Ви се възхищавам от сърце!

[inveidar]

C [tex]a, b, c[/tex] са означени дължините на катетите и хипотенузата.

e100.png (27.16 KiB) Прегледано 552 пъти

[S.B.]

Благодаря!

[S.B.]

Ето и моето решение:[tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle[/tex]C=90[tex]^\circ[/tex],AB=c,CM - медиана,AM=MB=MC =[tex]\frac{c}{2}[/tex];вписаната окръжност се допира в т.P,T и Q съответно до AB,AC и BC.Медианата CM пресича окръжността в т.G и т.N,като т.N e медицентър.
Нека CG=x, TC=r ,a MP=y; AC=AT+TC или AC= AP + r, но AP=AM+MP [tex]\rightarrow[/tex] AC=[tex]\frac{c}{2}[/tex]+y+r аналогично BC = [tex]\frac{c}{2}[/tex]-y+r
От Питагор :[tex]AC^{2}[/tex] + [tex]BC^{2}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] или [tex](c/2 +y +r)^{2}[/tex] +[tex](c/2 -y+r)^{2}[/tex] = [tex]c^{2}[/tex] (*)
[tex]TC^{2}[/tex] = CG.CN [tex]\rightarrow[/tex] [tex]r^{2}[/tex]=x.[tex]\frac{c}{3}[/tex] от където x = [tex]\frac{3}{c}[/tex] . [tex]r^{2}[/tex];
[tex]MP^{2}[/tex]= MN.MG[tex]\rightarrow[/tex] [tex]y^{2}[/tex] = [tex]\frac{c}{6}[/tex].([tex]\frac{c}{2}[/tex] - [tex]\frac{3}{c}[/tex].[tex]r^{2}[/tex]) или [tex]y^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{12}[/tex][tex]c^{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]r^{2}[/tex]
След преработка на уравнението (*) се получава: 2.[tex]r^{2}[/tex] + 2. [tex]y^{2}[/tex] + 2.rc -[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]c^{2}[/tex] = 0,а след като се замести [tex]y^{2}[/tex] с равното му се получава 3[tex]r^{2}[/tex] + 6cr -[tex]c^{2}[/tex] = 0 с корени [tex]r_{1 }[/tex] = [tex]\frac{c}{3}[/tex].(2[tex]\sqrt{3}[/tex] - 3) и [tex]r_{2 }[/tex]<0,който не ни интересува
И накрая след заместване и преработка се получава окончателно:AC = [tex]\frac{c}{3}[/tex]( 2[tex]\sqrt{3}[/tex] + [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] . [tex]\sqrt{8\sqrt{3} - 13}[/tex])
BC = [tex]\frac{c}{3}[/tex](2[tex]\sqrt{3}[/tex] - [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. [tex]\sqrt{8\sqrt{3}-13}[/tex])