Полуокръжност, триъгълник, квадрат

[Davids]

Даденото е полуокръжност, $GD = DE = 10$, O е центърът на вписаната окръжност. Търсим лицето на $ABC$.

Polukrug.png (33.38 KiB) Прегледано 783 пъти

[S.B.]

Извинявай,но нищо не разбирам!Буквите са съвсем малки!Къде е тази точка G?Моля те напиши условието подробно.

[KOPMOPAH]

Нещо задачата е неопределена. Когато т.$C$ се движи по дъгата ${ACB}$, съответно т.$G$ ходи насам-натам по $AB$

[Davids]

Съжалявам, не съобразих разликата в пикселизацията на екраните. Ето даденото:

Screenshot_2017-11-11-20-36-05.png (147.09 KiB) Прегледано 763 пъти

[Nathi123]

От условието на задачата следва ,че страната на квадрата е = 10. Нека точка [tex]O_{1 }[/tex]-център на окръжността
и [tex]AO_{1 }=BO_{1 }=R[/tex]. Квадратът DEFG за да е вписан в полуокр и страната GD да е на диаметър АВ,трябва
[tex]O_{1 }D=O_{1 }G=5; \triangle O_{1 }DE \Rightarrow O_{1 }E^{2}=DE^{2}+O_{1 }D^{2}[/tex] (Т на Питагор).
[tex]\Rightarrow R=5\sqrt{5};[/tex] т. О -център на вписаната в триъг. АВС окр. От условието на зад. следва,че
[tex]OD=r[/tex]-радиус на вписаната окр. за триъг.АВС; [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex] .Нека [tex]\angle ABC=\beta\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle AOB=135^\circ ; \angle ABO=\frac{\beta}{2};\angle BAO=45^\circ-\frac{\beta}{2}; BD=R-5=5(\sqrt{5}-1);BD=R+5=5(\sqrt{5}+1)[/tex].
[tex]\triangle BDO\Rightarrow \frac{OD}{BD}=tg\frac{\beta}{2}\Rightarrow r=5(\sqrt{5}-1)tg\frac{\beta}{2}; \triangle ADO\Rightarrow r=5(\sqrt{5}+1)tg(45-\frac{\beta}{2} )[/tex].
[tex]\Rightarrow (\sqrt{5}+1)\frac{1-tg\frac{\beta}{2}}{1+tg\frac{\beta}{2}}=(\sqrt{5}-1)tg\frac{\beta}{2} (1).[/tex] Нека [tex]x=tg\frac{\beta}{2}; x>0[/tex] От (1)[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex](\sqrt{5}-1)x^{2}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}-1=0;x>0\Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\Rightarrow r=5(3-\sqrt{x})[/tex]
При стандартните означения за правоъг триъг. от
[tex]r=\frac{a+b-c}{2};c=2R\Rightarrow 2r=a+b-2R\Rightarrow 2r+2R =a+b\Rightarrow 4(r+R)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\Rightarrow 4(r+R)^{2}=4R^{2}+4S[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{\triangle ABC}=r^{2}+2Rr; R=5\sqrt{5} ;r=15-5\sqrt{5}[/tex] .

[Nathi123]

|| начин : Означенията от |начин [tex]AD=p -a =\frac{b+c-a}{2} = 5\sqrt{5} + 5; c=2R=10\sqrt{5}\Rightarrow b-a=10\Rightarrow b = a+10 ; b^{2}+a^{2} = c^{2}[/tex]
[tex]a^{2}+10a - 200 = 0 \Rightarrow a =10 ( a>0)\Rightarrow b=20 \Rightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=100.[/tex]

[S.B.]

Мисля,че в условието не е казано,че квадрата е вписан в полуокръжността.

[Davids]

Мисля,че в условието не е казано,че квадрата е вписан в полуокръжността.

Абсолютно, единият му ъгъл стърчи, но лицето все пак е 100

[S.B.]

Ако поставиш т.C върху средата на дъгата ,тогава C[tex]\equiv[/tex]E и тогава AB=20 [tex]S_{ABC }[/tex]=100,но това ще бъде частен случай.Изобщо струва ми се,че [tex]S_{ABC }[/tex] e функция на местоположението на т.C,която се избира произволно.Основата AB = const,изменя се височината на триъгълника,което зависи от избора на т.C,която е (според мен!) произволна,с единствено условие да принадлежи на дъгата AB

[Davids]

Ако поставиш т.C върху средата на дъгата ,тогава C[tex]\equiv[/tex]E и тогава AB=20 [tex]S_{ABC }[/tex]=100,но това ще бъде частен случай.Изобщо струва ми се,че [tex]S_{ABC }[/tex] e функция на местоположението на т.C,която се избира произволно.Основата AB = const,изменя се височината на триъгълника,което зависи от избора на т.C,която е (според мен!) произволна,с единствено условие да принадлежи на дъгата AB

Не е никак произволна. Определена е от това, разстоянието между петата на перпендикуляра през центъра на вписаната окръжност към хипотенузата и пресечната точка на този перпендикуляр с полуокръжността да е 10.

[Nathi123]

Да ,не съм прочела внимателно условието и съм си добавила,че четвъртият връх на квадрата е на полуокръжността. Така съм дала решение на частен случай ,но и при двата начина получавам за лицето на триъг. АВС е 100. това ме наведе на мисълта,че решението не зависи от това къде се намира четвъртият връх на квадрата. Да се съсредоточим на това,че AD и BD могат да се разглеждат като проекции на катети на правоъг. триъг. ABE и DE е негова височина. Така получаваме,че AD.BD=100. От условието,че точка О е център на вписаната в триъ.АВС окр,следва,че AD е допирателна към вписаната окр от тА,а AD-допират от т.В. Така използвайки стандартните означения за правоъг. триъг.АВС ,получаваме:
[tex]\frac{a+c-b}{2}.\frac{b+c-a}{2}=100\Leftrightarrow (a+c-b)(b+c-a)=400\Leftrightarrow (c+a-b)(c-(a-b))=400\Leftrightarrow c^{2}-(a-b)^{2}=400[/tex]
[tex]\Leftrightarrow c^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=400\Leftrightarrow 2ab=400\Leftrightarrow \frac{ab}{2}=100[/tex] ( Използваме и Т на Питагор за триъг. АВС) .