Приемен изпит за Висшите военни училища 1969 г.

[S.B.]

Да се намери стойността на реалния параметър " a " от системата:
x + y + z = a +4
2x - y + 2z = 2a +2
3x + 2y - 3z = 1 - 2a
ако се знае,че x , y , z в посочения ред образуват геометрична прогресия.
Отг. [tex]a_{1 }[/tex] = 3 , [tex]a_{2 }[/tex] = -7,8

[Davids]

[tex]\begin{array}{|l} x + y + z = a + 4 \\ 2x - y + 2z = 2a + 2 \\ 3x + 2y - 3z = 1 - 2a \end{array}[/tex]
Умножавайки първото по две и изваждайки от него второто уравнение, получаваме веднага $y = 2$.
Умножавайки второто по 3, третото по 2 и събирайки ги почленно, получаваме: $y + 12x = 2a + 8$ $(1)$
Умножавайки първото по 3 и изваждайки от него третото, получаваме: $y + 6z = 5a + 11$ $(2)$
Само че от дадената геометрична зависимост и намерената стойност на $y = 2$ следва, че $x = \frac{2}{q}; z = 2q$.
Заместваме в двете последни уравнения, откъдето изразяваме в двата варианта $q = \frac{5a + 9}{12} = \frac{12}{a + 3}$ (съответно изразено от $(1)$ и от $(2)$)
Решаваме полученото уравнение и достигаме до $a_1 = 3; a_2 = -\frac{39}{5} = -7,8$

[KOPMOPAH]

Има и друг начин
Кандидатите за висшите военни училища през 1969 г. са знаели, че системата
$\begin{array}{|l}x+y+z=a+4\\2x−y+2z=2a+2\\3x+2y−3z=1−2a \end{array}$
се решава с детерминанти, като
$x=\frac{\Delta_1}{\Delta}$, $y=\frac{\Delta_2}{\Delta}$, $z=\frac{\Delta_3}{\Delta}$
където
$\Delta=\begin{vmatrix}
1&1&1\\
2&-1&2\\
3&2&-3
\end{vmatrix}=\cdots=9$,
$\Delta_1=\begin{vmatrix}
a+4&1&1\\
2a+2&-1&2\\
1−2a&2&-3
\end{vmatrix}=\cdots=3a+9$,
$\Delta_2=\begin{vmatrix}
1&a+4&1\\
2&2a+2&2\\
3&1−2a&-3
\end{vmatrix}=\cdots=36$,
$\Delta_3=\begin{vmatrix}
1&1&a+4\\
2&-1&2a+2\\
3&2&1−2a
\end{vmatrix}=\cdots=15a+27$
Офицерът трябва да бъде съобразителен, затова кандидатите са се сетили, че в геометричната прогресия всеки член е равен на средното геометрично на съседните си, което в конкретния случай изглежда така:
$y^2=xz \Leftrightarrow \left(\frac{36}9\right)^2=\frac{3a+9}9\cdot\frac{15a+27}9$, което след извършване на действията става обикновено квадратно уравнение
$5a^2+24a-117=0$
Тъй като офицерът освен съобразителен, трябва и да е смел - тези, които не са уплашили от квадратното уравнение и са го решили, трябва да са получили на колко би могло да е равно $a$

[ева]

Има и друг вариант :Решаваме с-та докрай,получаваме:х=[tex]\frac{а+3}{6}[/tex];у=2;z=[tex]\frac{5а+9}{6}[/tex]
Сега прилагаме (крадем) идеята на Корморан[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{а+3}{6}[/tex].[tex]\frac{5а+9}{6}[/tex]=[tex]2^{2}[/tex] ...
Стигаме до неговото кв. ур-е 5[tex]а^{2}[/tex]+24а-117=0 [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]а_1[/tex]=3;[tex]а_2[/tex]=-7,8

Скрит текст: покажи

Моля да не се разсърди.

[S.B.]

Благодаря на всички за вниманието!Оценявам високо чувството за хумор на КОРМОРАН!Не зная кой как се е справил преди 48 години с тази задача,но се питам как биха се справили сегашните 12-токласници с тази задача на матура,например?

[KOPMOPAH]

Силно се съмнявам, че сегашните абитуриенти биха могли да решат система с детерминанти, ако въобще ги изучават в училище. Едно време се справяхме