Равнина, точки, разстояния

[Davids]

В равнина са дадени 999 точки. Да се докаже, че различните разстояния между тях са поне 19

[ptj]

Имам решение с минимум 22.

[Davids]

Имам решение с минимум 22.

Задачата е от състезание на Салабашев, съответно решението ми липсва. Така че нямам нито една представа доколко е релевантен принципа за 22 също и за 19, но сподели, ще се радвам да видя всв пак решение. Аз нямам никакво, не можах и да измъдря нещо близо дори до решение

[ptj]

Нека са дадени [tex]n[/tex] точки, а различните разстояния между тях са [tex]k[/tex] на брой.

Фиксираме [tex]2[/tex] от точките. Тогава останалите лежат на [tex]2[/tex] множества от по [tex]k[/tex] симетрични окръжности
с радиуси равни на [tex]k[/tex]-те разстояния, а центрове са споменатите [tex]2[/tex] точки.
Окръжностите имат общо [tex]2k^2[/tex] общи точки, сл. [tex]n\le 2k^2+2[/tex].

При [tex]n=999[/tex] получаваме [tex]999\le 2k^2+2\Rightarrow 498,5 \le k^2 \Rightarrow 22,33 \le k \Rightarrow k\ge 23[/tex] .