Да се сравнят числата

[Добромир Глухаров]

Сравнете следните две числа: $p=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$ и $q=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+...}}}}$.

Аз имам отговора, но не мога да стигна до него.

Скрит текст: покажи

Отговор: $p>q$

[aifC]

Как ги сравняваш, чрез граници, частични парциални суми или може би интегрален тест. И двете поредици са монотонно нарастващи и ограничени отгоре.

[Добромир Глухаров]

Как ги сравняваш, чрез граници, частични парциални суми или може би интегрален тест. И двете поредици са монотонно нарастващи и ограничени отгоре.

Мисля, чрез граници, тъй като са граници на редици, а не суми на редове.

Скрит текст: покажи

За $p$ знам, че е $2$, но за $q$ нищо не мога да кажа.

[aifC]

За [tex]q[/tex] не можел ли да кажем следното:

[tex]n \ge 4 \Rightarrow \sqrt{2n} \le 2n-1 \Rightarrow[/tex]

[tex]a_{n} \le \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{..+\sqrt{(n-2)+\sqrt{(n-1)+\sqrt{2n}}}}}} \le \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{(n-2)+\sqrt{2(n-1)}}}}} \le ....[/tex]

[tex]\le \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{2(4)}}}}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\sqrt{2n}\leq2n-1\Rightarrow(n-1)+\sqrt{2n}\leq(n-1)+(2n-1)=3n-2>2(n-1)$ - получаваме едно $n$ в повече. (Може би не съм разбрал?)

[Добромир Глухаров]

А, разбрах: $n\geq4\Rightarrow\sqrt{2n}\leq n-1$

$a_n\leq\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{(n-2)+\sqrt{(n-1)+\sqrt{2n}}}}}\leq\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{(n-2)+\sqrt{2(n-1)}}}}\leq...\leq\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{2.4}}}}\approx1,76<2$

Много благодаря, aifC!

[KOPMOPAH]

Малко закъснях, ама $p$ така ли го намирате: $p=\sqrt{2+p}$

[Добромир Глухаров]

Малко закъснях, ама $p$ така ли го намирате: $p=\sqrt{2+p}$

Точно така. Е, и остава да се докаже, че редицата е монотонна и ограничена.