Зависимост между шест реални числа

[Davids]

Ако са дадени шест реални числа $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$, да се докаже, че:
$(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)^2 > 12(a_1a_6 + a_2a_5 + a_3a_4)$

[Genie_Almo]

1) [tex]6(a_{1}+a_{2})(a_{5}+a_{6})>12(a_{1}a_{6}+a_{2}a_{5})[/tex]

2) [tex]3(a_{3}+a_{4})^{2}>12a_{3}a_{4}[/tex]

Сега полагаме [tex]a_{1}+a_{2}=b_{1} ; a_{3}+a_{4}=b_{2} ; a_{5}+a_{6}=b_{3}[/tex]

Остава да догажем, че [tex](b_{1}+b_{2}+b_{3})^{2} > 6b_{1}b_{3}+3b_2^{2}[/tex].

Това става със стандартни преобразувания и накрая се използва верижното неравенство, зададено в условието. Въпросът е как съм се сетил за неравенства 1) и 2) . Със сигурност не падат от небето. Има си един прост, но често ефективен метод при симетричните неравенства, който в случая води до тук. Но ще си го запазя засега, тъй като имам една чудна задача, която го описва и мисля да я публикувам тук скоро.

Лека вечер на всички!

[Davids]

1) [tex]6(a_{1}+a_{2})(a_{5}+a_{6})>12(a_{1}a_{6}+a_{2}a_{5})[/tex]

2) [tex]3(a_{3}+a_{4})^{2}>12a_{3}a_{4}[/tex]

Сега полагаме [tex]a_{1}+a_{2}=b_{1} ; a_{3}+a_{4}=b_{2} ; a_{5}+a_{6}=b_{3}[/tex]

Остава да догажем, че [tex](b_{1}+b_{2}+b_{3})^{2} > 6b_{1}b_{3}+3b_2^{2}[/tex].

Това става със стандартни преобразувания и накрая се използва верижното неравенство, зададено в условието. Въпросът е как съм се сетил за неравенства 1) и 2) . Със сигурност не падат от небето. Има си един прост, но често ефективен метод при симетричните неравенства, който в случая води до тук. Но ще си го запазя засега, тъй като имам една чудна задача, която го описва и мисля да я публикувам тук скоро.

Лека вечер на всички!

Така и не дочаках Все още ми е интересно решението, не съм работил по него, просто се сетих ей тук покрай състезанието между ЕГ в Луковит тази година. Та как подхождаме най-ефективно?

[ева]

Ако [tex]а_{1 }[/tex],[tex]а_{2 }[/tex],...,[tex]а_{6 }[/tex] са крайна аритметична прогресия с d>0,док.ще е лесно.
75[tex]d^{2}[/tex]>40[tex]d^{2}[/tex]

12[tex]a_{1 }^{2}[/tex]+60[tex]a_{1 }[/tex]d+75[tex]d^{2}[/tex]>12[tex]a_{1 }^{2}[/tex]+60[tex]a_{1 }[/tex]d+40[tex]d^{2}[/tex]

3(4[tex]a_{1 }^{2}[/tex]+20[tex]a_{1 }[/tex]d+25[tex]d^{2}[/tex])>4(3[tex]a_{1 }^{2}[/tex]+15[tex]a_{1 }[/tex]d+10[tex]d^{2}[/tex]) /.3

9([tex]2a_{1 }+5d)^{2}[/tex]>12[([tex]a_{1 }^{2}[/tex]+5[tex]a_{1 }[/tex]d)+([tex]a_{1 }^{2}[/tex]+4[tex]a_{1 }[/tex]d+[tex]a_{1 }[/tex]d+4[tex]d^{2}[/tex])+([tex]a_{1 }^{2}[/tex]+3[tex]a_{1 }[/tex]d+2[tex]a_{1 }[/tex]d+6[tex]d^{2}[/tex])]

[[tex]3(a_{1 }+a_{6 })]^{2}[/tex]>12[[tex]a_{1 }[/tex]([tex]a_{1 }[/tex]+5d)+([tex]a_{1 }[/tex]+d)([tex]a_{1 }[/tex]+4d)+([tex]a_{1 }[/tex]+2d)([tex]a_{1 }[/tex]+3d)]

([tex]\frac{a_{1 }+a_{6 }}{2}.6)^{2}[/tex]>12([tex]a_{1 }[/tex][tex]a_{6 }[/tex]+[tex]a_{2 }[/tex][tex]a_{5 }[/tex]+[tex]a_{3 }[/tex][tex]a_{4 }[/tex])

[tex]S_{6 }^{2}[/tex]>12([tex]a_{1 }[/tex][tex]a_{6 }[/tex]+[tex]a_{2 }[/tex][tex]a_{5 }[/tex]+[tex]a_{3 }[/tex][tex]a_{4 }[/tex])

([tex]a_{1 }+a_{2 }+...+a_{6 })^{2}[/tex]>12([tex]a_{1 }[/tex][tex]a_{6 }[/tex]+[tex]a_{2 }[/tex][tex]a_{5 }[/tex]+[tex]a_{3 }[/tex][tex]a_{4 }[/tex])