Ромб

[S.B.]

Даден е ромб ABCD със страна = a. т.М - среда на AB, т.K - среда на AD ;[tex]\angle[/tex]DMC=[tex]\beta[/tex]
Да се намери лицето на [tex]\triangle[/tex]KMC

[Nathi123]

Нека [tex]\angle DAB=\alpha\Rightarrow \angle ABC=180^\circ - \alpha ; \triangle AMD\Rightarrow cos\alpha =\frac{4a^{2}+a^{2}-4DM^{2}}{a^{2}}[/tex] (1) ( косинусова т-ма).
Аналогично от триъг. BMC и кос. т-ма [tex]cos\alpha = \frac{4CM^{2}-5a^{2}}{2} (2)[/tex] От (1) и (2) [tex]\Rightarrow MC^{2} + DM^{2}=\frac{5a^{2}}{2}[/tex] (3).
От косинусова т-ма ( или котангенсова ) за [tex]\triangle DMC \Rightarrow S_{DMC }=\frac{DM^{2}+MC^{2}-a^{2}}{4cotg\beta}[/tex]. От (3)
[tex]\Rightarrow S_{DMC }= \frac{3a^{2}tg\beta}{8} ; MH\bot CD\Rightarrow S_{DMC }=\frac{a.MH}{2}\Rightarrow MH=\frac{3atg\beta}{4}[/tex] Нека [tex]MK\cap CD=L[/tex];
по ІІ-ри признак [tex]\triangle AKM[/tex] e еднакъв с [tex]\triangle LKD \Rightarrow LK=KM; LD=AM=\frac{a}{2}\Rightarrow[/tex] CK-медиана в триъг. LMC.
[tex]S_{LCM }=\frac{LC.MH}{2}; LC=LD+DC=\frac{a}{2}+a =\frac{3a}{2}\Rightarrow S_{LCM }= \frac{9a^{2}tg\beta}{16}[/tex]
[tex]S_{CKM }=\frac{1}{2}S_{LCM }=\frac{9a^{2}tg\beta}{32}[/tex].

[S.B.]

Тази задача е от колекцията ми "Любими задачи".Ще се радвам ако е харесала и на вас,колеги от форума.А сега,ще си позволя след прекрасното решение на NATHI123 да изложа и моето решение.
[tex]S_{CKM }[/tex] = [tex]S_{ABCD }[/tex] - ([tex]S_{AMK }[/tex] + 2[tex]S_{MBC }[/tex])= [tex]а^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] - ([tex]\frac{a^{2}}{8}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] + 2[tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex]sin(180[tex]^\circ[/tex] - [tex]\alpha[/tex])) след преобразуване получавам:
[tex]S_{CKM }[/tex] = [tex]\frac{3}{8}[/tex][tex]a^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] (където [tex]\angle[/tex] А = [tex]\alpha[/tex])
сега целта ми е да изразя sin от неизвестния ъгъл [tex]\alpha[/tex] чрез известния ъгъл [tex]\beta[/tex]
Нека MD = x и MC = y
[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]S_{AMD }[/tex] + [tex]S_{DMC }[/tex] + [tex]S_{MBC }[/tex] или [tex]а^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] + [tex]\frac{x.y}{2}[/tex]sin[tex]\beta[/tex] + [tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] след преобразуване получавам:
[tex]а^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] = x.y.sin[tex]\beta[/tex] Прилагам косинусова теорема:
За [tex]\triangle[/tex]AMD : [tex]x^{2}[/tex] = [tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex] + [tex]a^{2}[/tex] - 2.[tex]\frac{a}{2}[/tex].a.cos[tex]\alpha[/tex] и получавам :[tex]x^{2}[/tex] = [tex]а^{2}[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex] - cos[tex]\alpha[/tex])
За [tex]\triangle[/tex]MBC : [tex]y^{2}[/tex] = [tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex] + [tex]a^{2}[/tex] - 2.[tex]\frac{a^{2}}{2}[/tex].cos(180[tex]^\circ[/tex] -[tex]\alpha[/tex]) и получавам : [tex]y^{2}[/tex] = [tex]a^{2}[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex] + cos[tex]\alpha[/tex])
За [tex]\triangle[/tex]DMC : [tex]a^{2}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] + [tex]y^{2}[/tex] - 2.x.y.cos[tex]\beta[/tex] замествам и получавам :[tex]а^{2}[/tex] = [tex]а^{2}[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex] - cos[tex]\alpha[/tex]) + [tex]a^{2}[/tex]([tex]\frac{5}{4}[/tex] + cos[tex]\alpha[/tex]) - 2.x.y.cos[tex]\beta[/tex] от където след преработка получавам : x.y = [tex]\frac{3.a^{2}}{4.cos\beta}[/tex] , комбинирам с полученото по-горе :[tex]а^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] = x.y.sin[tex]\beta[/tex] и получавам
[tex]а^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3a^{2}}{4cos\beta}[/tex]. sin[tex]\beta[/tex] или окончателно : sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{4}[/tex]tg[tex]\beta[/tex] (с което постигнах целта си!)[tex]S_{CKM }[/tex] = [tex]\frac{3}{8}[/tex][tex]a^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{8}[/tex][tex]a^{2}[/tex].[tex]\frac{3}{4}[/tex]tg[tex]\beta[/tex] или
[tex]S_{CKM }[/tex] = [tex]\frac{9}{32}[/tex][tex]a^{2}[/tex]tg[tex]\beta[/tex]

[Davids]

Задачата е наистина невероятна и за стилното решение на Nathi на мен лично щеше да ми отнеме доста време да се сетя. Адмирации и за автора, и за "решавачите" тук, страшно много ме радвате

[Nathi123]

Благодаря на всички за оценките!

[S.B.]

Благодаря на всички за оценките!

Ти си ги заслужи!