Намерете отношението

[ева]

В остроъг.[tex]\triangle[/tex]АВС с ъгли [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex],[tex]\gamma[/tex] са построени височините AD,BE,CM.
Да се намери отношението на лицата на тр-те DEM и АВС.

[Nathi123]

За решението ще използвам две твърдения ,които ще докажа.
1.зад. При означенията от зададената задача,ще докажем,че [tex]\triangle DCE \approx \triangle ABC[/tex].
Доказателство:
От т. D и Е отсечката АВ се вижда под прав ъгъл ,следователно съществува окръжност к описана околочетириъг. ABDE . [tex]\Rightarrow \angle CAB=\angle EDC =\alpha; \angle ACB=DCE=\gamma\Rightarrow \triangle DCE \approx \triangle ABC \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{CE}{BC}[/tex]
[tex]\triangle BCE\Rightarrow \frac{CE}{BC} = cos\gamma \Rightarrow \frac{DE}{AB}= cos\gamma (1) .[/tex] Аналогично [tex]\triangle MDB\approx \triangle ABC\Rightarrow \frac{MD}{AC} = cos\beta[/tex] (2).
2.зад. [tex]\angle EDM=180^\circ -2\alpha .[/tex] Аналогично се изразяват и другите ъгли на [tex]\triangle MDE.[/tex]
Доказателство : От зад. 1 к -описана около четириъг. ABDE окр. [tex]\Rightarrow \angle ADE=\angle ABE =\frac{дъгата АЕ}{2} ; \triangle ABE\Rightarrow \angle ABE =90^\circ - \alpha .[/tex]
Аналогично [tex]k_{1 }[/tex] - описаната около четиръг. ACDM окръжност [tex]\Rightarrow \angle MDA=90^\circ-\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MDE=\angle ADE+\angle ADM=180^\circ - 2\alpha[/tex].(3)
Сега можем да намерим търсеното отношение на лицата на триъг.,а именно:
[tex]\frac{S_{MDE }}{S_{ABC}}=\frac{DE.MDsin(180^\circ-2\alpha)}{AB.ACsin\alpha}=\frac{DE}{AB}.\frac{MD}{AC}.\frac{sin2\alpha}{sin\alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{S_{MDE }}{S_{ABC}}= cos\gamma .cos\beta. 2cos\alpha =2cos\alpha.cos\beta.cos\gamma[/tex] (изп. (1) , (2) и (3) . )