Намерете радиуса

[ева]

Лицето на остроъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] е 18[tex]см^{2}[/tex].През върховете му А и С са прекарани височините AD и СЕ.Отсечката DE е 2[tex]\sqrt{2}[/tex]см.,а лицето на [tex]\triangle BDE[/tex] е 2[tex]см^{2}[/tex].Намерете радиуса на описаната около тр-к АВС окръжност.

[Nathi123]

[tex]\triangle BDE\approx \triangle ABC[/tex] ( доказано в решението на зад. на седмицата) и [tex]\frac{DE}{AC}=cos\beta \Rightarrow \frac{S_{BDE }}{S_{ABC }}=cos^{2}\beta=\frac{2}{18}[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\beta =\frac{1}{3}[/tex] (по усл. [tex]\angle \beta[/tex]-остър) . [tex]\Rightarrow sin\beta =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
[tex]\frac{DE}{AC}=cos\beta =\frac{1}{3}\Rightarrow AC=6\sqrt{2}\Rightarrow \frac{AC}{sin\beta} = 2R[/tex] (синусова т-ма за триъг. АВС).
[tex]\Rightarrow \frac{6.\sqrt{2}}{\frac{2.\sqrt{2}}{3}}=2R \Rightarrow R=\frac{9}{2}=4,5 cm.[/tex]

[ева]

Браво!!!

[Nathi123]

Докато пишех решението ,задача на седмицата беше : Даден е остроъгълен триъг.АВС с ъгли съответно[tex]\alpha ,\beta и \gamma;[/tex]
AD,BE и СМ са височините му.Да се намери отношението на лицата на триъгълниците BDM и АВС.
Там първо бях доказала подобието на CDE и АВС . Аналогично се доказва подобието на триъг. BDE и АВС от днешната задача на EВА ,която някой междувременно е направил задача на седмицата.
Още една задача ,която се решава със същите знания е следната :В остроъгълния триъг. АВС са построени височините АН и СР.Известно е,че лицето на триъг. АВС е 16,лицето на четириъг. АРНС е 12,а радиусът на описаната окръжност около триъг. РВН е [tex]\frac{4}{\sqrt{3}}[/tex] .Намерете : а) големината на ъгъл АВС ; б) дължината на страната АС . Давай ЕВА пробвай се на цитираната задача за да викам ,, Браво"