Правоъгълен триъгълник

[S.B.]

В правоъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC ([tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex]) е вписана окръжност с радиус r=2 см, която се допира до страните AB, BC и AC съответно в точки M,N и P. [tex]S_{MNP }[/tex] = 4,8 [tex]см^{2}[/tex]. Да се определи [tex]S_{ABC }[/tex].

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са острите ъгли на правоъгълния триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex].
С тяхна помощ изразяваме лицето на [tex]\triangle MNP[/tex] и след съкращаване, получаваме, че [tex]sin \alpha +sin \beta =1,4[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] знаем, че [tex]r = p-c = \frac{a+b-c}{2}[/tex]
и оттук - със синусова теорема [tex]\frac{csin \alpha +csin \beta - c}{2}=2[/tex], заедно с намерената сума на синусите (по-горе), след приведение получаваме, че [tex]c=10[/tex]
Сега ... пътища много. Най-кратко за мен е с Питагорова теорема. Но така или иначе [tex]S_{\triangle ABC}=24[/tex]

[amsara]

Прикачвам решението на лист

[Alex98]

[tex]S_{PMN}=S_{POM}+S_{PON}+S_{MON}= \frac{1}{2}r^2(sin \alpha +sin \beta +1)=4,8[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2}r^2(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c})=4,8[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{(a+b+c)r^2}{2c}=4,8[/tex]
[tex]\Rightarrow pr=\frac{4,8c}{r}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABC}=2,4c \Rightarrow 12c=5S_{ABC}[/tex] (-1-)

[tex]p-c=r \Rightarrow a+b=2r+c=c+4[/tex] сега повдигаме на квадрат и получаваме:
[tex]\cancel{a^2+b^2}+2ab=\cancel{c^2}+8c+16[/tex] унищожаваме от Питагоровата теорема и получаваме:
[tex]\Rightarrow S_{ABC}=2c+4 \Rightarrow 12c=6S_{ABC}-24[/tex] (-2-)

Сега от (-1) и (-2-) получаваме [tex]S_{ABC}=24[/tex]

[S.B.]

Благодаря за вниманието на всички!