Намерете лицето

[ева]

Централата на две окръжности с радиуси 3 и 1 е 2[tex]\sqrt{2}[/tex].Права l се допира до окр-те в т.А и т.В.Намерете лицето на тр-к АВС,където т.С е по-близката до l пресечна т.на двете окръжности.

[Knowledge Greedy]

Въвеждаме означенията от чертежа. Точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са центровете на двете окръжности и т.н.

Лице на триъгълник от 4ти януари.png (5.25 KiB) Прегледано 514 пъти

Тъй като [tex]\angle CPQ[/tex] има известни синус и косинус, а ъгъл [tex]\angle APQ=45^\circ[/tex], то [tex]\angle APC[/tex] - който е тяхната разлика, лесно може да бъде намерен.
[tex]sin\angle APC =\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{3}[/tex]=[tex]\frac{4-\sqrt{2}}{6}[/tex]
С негова помощ откриваме [tex]S_{PAC}=\frac{12-3\sqrt{2}}{4}[/tex]
Понеже [tex]\angle BQC=45^\circ[/tex], [tex]S_{BQC}=\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
Вече е известно [tex]S_{PQC}=\sqrt{2}[/tex]
Изваждайки от лицето на трапеца [tex]S_{PABQ}=\frac{3+1}{2}.2=4[/tex] намерените три лица, получаваме [tex]S_{ABC}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
_________
Решението не е подробно. Може да възникнат въпроси. Но чертежът е точен

[Davids]

Ах, само този прав $\angle PQC$ ми убягна... А освен чрез проверка за питагоровата тройка $2\sqrt{2}, 1, 3$ друг (леко по-очевиден) начин за намиране на правия ъгъл?

[ева]

В упътването пише,че хитростта за лесното решение е да се досетим,че ъгъл PQC=90[tex]^\circ[/tex].
отг. 1-[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[S.B.]

Ах, само този прав $\angle PQC$ ми убягна... А освен чрез проверка за питагоровата тройка $2\sqrt{2}, 1, 3$ друг (леко по-очевиден) начин за намиране на правия ъгъл?

Има.Аз въобще не се сетих за Питагоровата тройка,а тъй като в [tex]\triangle[/tex]PQC знам и трите страни,хукнах да търся с косинусова теорема cos[tex]\angle[/tex]CPQ за да намеря разликата до [tex]\angle[/tex]45[tex]^\circ[/tex] на трапеца и после търсих cos[tex]\angle[/tex]CQP за търся разликата между 135[tex]^\circ[/tex] и този ъгъл и като получих,че cos[tex]\angle[/tex]CQP=0 "паднах по гръб!" Оказа се,че CQ[tex]\bot[/tex]централата!Всъщност хубаво е когато знаеш 3 страни от един [tex]\triangle[/tex] с косинусова теорема приложена за най-голямата страна ,да провериш с какъв триъгълник си имаш работа,което аз направих,но случайно! Не бъди !По-добре !

[Davids]

Зеленият ме радва повече А иначе под „по-очевиден“ имах предвид нещо далеч по-семпло като например подобия, успоредности, сборове на ъгли и т.н. разнообразни изкуствено достигнати, но все пак семпли методи.

[Knowledge Greedy]

А аз просто си задавах въпросите, подходящи при направа на точен чертеж