Докажете

[ева]

Да се докаже,че за правилен седмоъгълник [tex]А_{1 }[/tex][tex]А_{2 }[/tex][tex]А_{3 }[/tex][tex]А_{4 }[/tex][tex]А_{5 }[/tex][tex]А_{6 }[/tex][tex]А_{7 }[/tex] е изпълнено
[tex]\frac{1}{А_{1 }А_{2 }}[/tex]=[tex]\frac{1}{А_{1 }А_{3 }}[/tex]+[tex]\frac{1}{А_{1 }А_{4 }}[/tex]

[ptj]

Записаното условие с помощта на въвеждането на централен ъгъл [tex]\alpha[/tex] и синусова теорема се трансформира в
[tex]sin(\alpha)=sin(2\alpha)+sin(3\alpha)[/tex], което има единствено решение [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex].

T.e. исканото е изпълнено само за правилен 6-то ъгълник.

[ева]

Не ми се получаваше нещо .
За това потърсих помощ.
Преписала съм всичко точно ,сигурно има печатна грешка.

[ева]

Равенството не трябва ли да бъде
[tex]\frac{1}{sin\alpha}[/tex]=[tex]\frac{1}{sin2\alpha}[/tex]+[tex]\frac{1}{sin3\alpha}[/tex] ?

[ptj]

Да права си, грешката е моя.

[tex]\frac{1}{sin\alpha}=\frac{1}{sin2\alpha}+\frac{1}{sin3\alpha}[/tex] в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex] има решения [tex]\frac{\pi}{7}[/tex] и [tex]\frac{3\pi}{7}[/tex], т.е. заключението е правилно.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\frac{1}{sin\frac{\pi}{7}}=\frac{1}{sin\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{sin\frac{3\pi}{7}}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]sin\frac{2\pi}{7}.sin\frac{3\pi}{7}=sin\frac{\pi}{7}.sin\frac{3\pi}{7}+sin\frac{\pi}{7}.sin\frac{2\pi}{7} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow cos\frac{\pi}{7}-cos\frac{5\pi}{7}=(cos\frac{2\pi}{7}-cos\frac{3\pi}{7})+(cos\frac{\pi}{7}-cos\frac{3\pi}{7})\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow cos\frac{\pi}{7}-cos\frac{5\pi}{7}\Leftrightarrow cos\frac{2\pi}{7}+cos\frac{\pi}{7}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow -cos\frac{5\pi}{7}=cos\frac{2\pi}{7}[/tex]

[ева]

Искам да докажа равенството без да използвам никакво-[tex]\pi[/tex].Възможно ли е?

[ptj]

Знаеш ли друг метод за измерване дължини на дъги?

[ева]

Исках да док. равенството за всяко [tex]\alpha[/tex].

[ptj]

Явно не четеш написаното.
В интервала [tex](0;90^\circ)[/tex] има само [tex]2[/tex] стойности на централния [tex]\alpha[/tex] изпълняващи условието [tex]\frac{1}{sin\alpha}=\frac{1}{sin2\alpha}+\frac{1}{sin3\alpha}[/tex].

[ева]

Благодаря-разбрах задачата.

Скрит текст: покажи

Просто собствените грешки се откриват най-трудно.