Решение на уравнение в естествени числа

[ptj]

Намерете всички решения на [tex]x_1^n=x_2^n+...+x_i^n[/tex] в естествени числа, където [tex]n\ge x_1>x_2>...>x_i[/tex] и [tex]n\ge i\ge3[/tex].

[tex](i,n,x_1,x_2,....,x_n\in N)[/tex]

[pal702004]

При $i=3$ решения няма, имам чудесно доказателство, но полето няма да ми стигне да го напиша.

За $i\ge 4$ баш всичките няма да мога да намера, от мен само двенки ( естествено че не са от мен)

$422481^4=414560^4+217519^4+95800^4$ (най-малкото решение за $i=n=4$, има и още)

и

$144^5=133^5+110^5+84^5+27^5$

Та ти сериозно ли ни даваш тази задача? Аз да я реша, а ти да вземеш Филдсова? Хитрец.

[pal702004]

Извинявам се, не обърнах внимание на странното условие $n\ge x_1\cdots$

[ptj]

Браво, но именно странното условие е ключа.

[ptj]

Ще ви улесня значително- докажете, че не съществува решение.

[ptj]

Един нестандартен проблем и всички блокирахте.
Поне една идея или хипотеза нямате ли?

[Genie_Almo]

Първо да забележим, че $x_1≥i$. Обратното ще означава, че в дясната страна на уравнението ще има поне $x_1$ на брой различни естествени числа, при това всички по-малки от $x_1$ , а това разбира се, не е възможно.

Имайки предвид ограниченията, зададени в условието, най-голямата възможна стойност от дясната страна се достига при $i=x_1$ и има вида:

$(x_1-1)^n + (x_1-2)^n + (x_1-3)^n +...+1^n$

Нека първо разгледаме случая $n=x_1$. Ще докажем, че $ x_1^{x_1} > (x_1-1)^{x_1} + (x_1-2)^{x_1} + (x_1-3)^{x_1} +...+1^{x_1} $ .

Делим на $x_1^{x_1}$ и се опитваме да докажем, че $ 1> (1-\frac{1}{x_1})^{x_1} + (1-\frac{2}{x_1})^{x_1} + (1-\frac{3}{x_1})^{x_1} +...+ (1-\frac{x_1-1}{x_1})^{x_1} $

Първо забелязваме, че редицата $(1-\frac{k}{x_1})^{x_1}$ е растяща за $k\epsilon[1,x_1-1], k \epsilon N$ спрямо $x_1$, тъй като от неравенството м/у средно геометрично и средно аритметично имаме

[tex]\sqrt[x_1+1]{1*(1-\frac{k}{x_1})^{x_1}}<\frac{1+x_1(1-\frac{k}{x_1})}{x_1+1} = \frac{x_1+1-k}{x_1+1} = 1-\frac{k}{x_1+1} \Rightarrow (1-\frac{k}{x_1})^{x_1} < (1-\frac{k}{x_1+1})^{x_1+1}[/tex]

В случая имаме строго неравенство, защото $1-\frac{k}{x_1}<1$. Вече знаем, че редицата е растяща, а нейната граница е добре известна:

$ \lim_{x_1 \to \infty}(1-\frac{k}{x_1})^{x_1} = e^{-k} $, а от факта, че $2^{-k} > e^{-k}$, съчетан с $\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}=1$ , можем да запишем неравенството:

$ 1≥\sum_{k=1}^{x_1-1}2^{-k}>\sum_{k=1}^{x_1-1}e^{-k} ≥ (1-\frac{1}{x_1})^{x_1} + (1-\frac{2}{x_1})^{x_1} + (1-\frac{3}{x_1})^{x_1} +...+ (1-\frac{x_1-1}{x_1})^{x_1} $

Което означава, че лявата част на уравнението е строго по-голяма от дясната и равенство не може да бъде постигнато.

Сега да разгледаме случая $n>x_1$ . Нека $n = x_1+d$, където $d\epsilon N$. Използваме вече доказаното в предходното допускане:

$ x_1^{x_1} > (x_1-1)^{x_1} + (x_1-2)^{x_1} + (x_1-3)^{x_1} +...+1^{x_1} \Rightarrow x_1^{x_1}x_1^{d} > (x_1-1)^{x_1}x_1^{d} + (x_1-2)^{x_1}x_1^{d} + (x_1-3)^{x_1}x_1^{d} +...+1^{x_1}x_1^{d} > (x_1-1)^{x_1}(x_1-1)^{d} + (x_1-2)^{x_1}(x_1-2)^{d} + (x_1-3)^{x_1}(x_1-3)^{d} +...+1^{x_1}1^{d}$

Следователно

$ x_1^{n} > (x_1-1)^{n} + (x_1-2)^{n} + (x_1-3)^{n} +...+1^{n}$

и равенство не може да бъде постигнато.

P.S. Признавам, че без подсказката на ptj най-вероятно нямаше да светне крушката.

[ptj]

Браво!
Доказал си го само за [tex]i=n[/tex], a за общия случай ти трябваше $ x_1^{n} > (x_1-1)^{n} + (x_1-2)^{n} + (x_1-3)^{n} +...+1^{n} $.
Но имайки предвид, че промените ще са незначителни, приемам доказателството.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Моята идея тръгна от [tex](n\ge x) : x^n>2(x-1)^n[/tex].

[tex]x^n>2(x-1)^n>(x-1)^n+2(x-2)^n>(x-1)^n+(x-2)^n+2(x-3)^n>...>(x-1)^n+(x-2)^n+...+1^n[/tex]

Функцията [tex]\big(\frac{x}{x-1}\big)^x[/tex] е монотонно намаляваща при [tex]x\ge3[/tex] (отрицателна производна) и

[tex]\lim_{x\to +\infty} \big(\frac{x}{x-1}\big)^x=e>2[/tex]

Тъй като [tex]\frac{x}{x-1}>1[/tex], то при [tex]n\ge x\ge3[/tex] е изпълнено [tex](\frac{x}{x-1})^n\ge\big(\frac{x}{x-1}\big)^x>2[/tex]

П.П. Трябваше да ви дам условие [tex](997\ge x>y>z>t>q)[/tex], [tex]x^{997}=y^{997}+z^{997}+t^{997}+q^{997}[/tex] и
да ви оставя да търсите решение до края на годината (без подсказка).

[Genie_Almo]

Браво!
Доказал си го само за $i=n$, a за общия случай ти трябваше $x_1^n>(x_1−1)^n+(x_1−2)^n+(x_1−3)^n+...+1^n$
Но имайки предвид, че промените ще са незначителни, приемам доказателството.

Сега да разгледаме случая $n>x_1$ . Нека $n=x_1+d$, където $dϵN$. Използваме вече доказаното в предходното допускане:


$ x_1^{x_1} > (x_1-1)^{x_1} + (x_1-2)^{x_1} + (x_1-3)^{x_1} +...+1^{x_1} \Rightarrow x_1^{x_1}x_1^{d} > (x_1-1)^{x_1}x_1^{d} + (x_1-2)^{x_1}x_1^{d} + (x_1-3)^{x_1}x_1^{d} +...+1^{x_1}x_1^{d} > (x_1-1)^{x_1}(x_1-1)^{d} + (x_1-2)^{x_1}(x_1-2)^{d} + (x_1-3)^{x_1}(x_1-3)^{d} +...+1^{x_1}1^{d}$

Следователно

$ x_1^{n} > (x_1-1)^{n} + (x_1-2)^{n} + (x_1-3)^{n} +...+1^{n}$

и равенство не може да бъде постигнато.

Мисля, че това покрива и случая $n>x_1≥i$, а още в началото изяснихме, че не може $i>x_1$, други варианти на разположение на параметрите не виждам.

[ptj]

Извинявай, четох през пръсти. Всичко е О.К.