Интеграл

[grav]

Нека [tex]a[/tex] е положително реално число, да се пресметне.

[tex]\int_{\frac1{2018}}^{2018}\frac{x-1}{1+ax+ax^2+x^3}dx[/tex]

[aifC]

[tex]\int \frac{x-1}{1+ax+ax^{2}+x^{3}}dx = \int \frac{x-1}{(x+1)(x^2+ax-x+1} dx = \int \left(\frac{2}{(a-3)(x+1)} - \frac{2x+a-1}{(a-3)(x^{2}+(a-1)x+1}\right)dx = \frac{2}{(a-3)} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{a-3} \int \frac{2x+a-1}{x^{2}+(a-1)x+1}dx;[/tex]

[tex]\int \frac{2x+a-1}{x^{2}+(a-1)x+1}dx \Rightarrow u = x^{2}+(a-1)x+1, dx = \frac{1}{2x+a-1} = \int \frac{1}{u}du = ln(u)=ln(x^{2}+(a-1)x+1)[/tex]

[tex]\int \frac{1}{x+1}dx \Rightarrow u=x+1, dx=du, \int \frac{1}{u}du = ln(u) = ln(x+1);[/tex]

[tex]-\frac{ln(|x^{2}+(a-1)x+1|)-2ln(|x+1|)}{a-3} \begin{array}{|l} 2018 \\ \frac{1}{2018} \end{array} = \frac{ln(|2018a+4070307|)-ln\left(\frac{|2018a+4070307|}{4072324}\right)-2ln(2019)+2ln\left(\frac{2019}{2018}\right)}{a-3}[/tex]

[aifC]

Доста по неприятен за смятане би бил този:

[tex]\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^{7}+1}{cos^{2}(x)}dx;[/tex]

[grav]

Така както си го написал е изключително трудно за четене. Сега остава да забележиш, че крайният отговор е равен на нула(!) и да намериш по-добро решение.

[grav]

[tex]\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^{7}+1}{cos^{2}(x)}dx=\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^{7}}{cos^{2}(x)}dx+\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{cos^{2}(x)}dx=0+\tan(x)|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[/tex]

[aifC]

Знаех си че нещо ми убягва.

[grav]

За пълнота, решението, което аз имах предвид, е да се направи смяната [tex]x=\frac1t[/tex].Тогава новополученият интеграл е като дадения, но със знак минус. Следователно е нула.

[KOPMOPAH]

Вие, разбира се, ще се смеете на двата ми въпроса, ама ще ги задам все пак:
- защо $a$ е положително реално число?
- защо границите са $\frac 1{2018}$ и $2018$ (не изключвам да има някаква връзка с настоящата година )

[pal702004]

За пълнота, решението, което аз имах предвид, е да се направи смяната [tex]x=\frac1t[/tex].Тогава новополученият интеграл е като дадения, но със знак минус. Следователно е нула.

Е защо втори интеграл? С просто око се вижда, че $F(x)=F\left(\frac 1 x\right)$ като всичко се вкара в един логаритъм.

$F(x)=\frac{1}{a-3}\ln\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2+(a-1)x+1}\right)+C$