Ъглите на ромба

[ева]

Разстоянието м/у петите на две височини на ромб ,прекарани през един негов връх ,е два пъти по-малко от диагонал на ромба.Намерете ъглите на ромба.

[ptj]

Отсечката свързваща двете пети винаги е успоредна на диагонала на ромба (еднакви триъгълници). Тогава споменатите височини са едновременно и медиани. Съответно равнобедрения триъгълник (половината ромб) е равностранен.
Отговор :[tex]60^\circ,120^\circ[/tex]

[ева]

Интересното е,че има два отг.Първият е този,чакам да намерите и другия.

[Nathi123]

Нека ромбът е ABCD със страна а и ъгли [tex]\angle DAB=\alpha; \alpha <90^\circ \Rightarrow \angle ABC=180^\circ - \alpha[/tex].
І.сл. [tex]DM\bot AB ; DN\bot BC[/tex] - височините построени от връх на тъп ъгъл. По условие АС =2.MN.(1). От триъг. АВС и (1)
получаваме,че M и N са среди на АВ и ВС. От там лесно се получава,че [tex]\alpha = 60^\circ ; 180^\circ - \alpha =120^\circ[/tex].
ІІ. сл. При горните означения построяваме СН[tex]\bot AB ; CH_{1 }\bot AD ; S_{ABCD }=a.CH=a.CH_{1 }\Rightarrow CH=CH_{1 }=x .[/tex]
Лесно се доказва ,че [tex]\angle H_{1 }CH=\angle ABC=180^\circ - \alpha .[/tex]
От косин. т-ма за триъг. АВС[tex]\Rightarrow AC^{2}=2a^{2}+2a^{2}cos\alpha = 2a^{2}(1+cos\alpha)[/tex] (2) .
От кос . т-ма за триъг. [tex]CHH_{1 }\Rightarrow HH_{1 }^{2}=2x^{2}(1+cos\alpha) (3) ;[/tex]
По усл [tex]2HH_{1 }=AC[/tex] От (2) и (3) [tex]\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{a}{2}[/tex].
От [tex]\triangle BCH\Rightarrow \angle CBH=\alpha ; \frac{CH}{BC}=sin\alpha\Rightarrow \frac{x}{a}=sin\alpha\Rightarrow[/tex]
[tex]sin\alpha = \frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =30^\circ[/tex] . Тогава другият ъгъл на ромба е 150 [tex]^\circ[/tex].

[ptj]

Делтоид, при който единия диагонал е 2 пъти по-дълъг от другия.
Решава се уравнение [tex]2sin(\frac{\alpha}{2}):\frac{1}{cos(\frac{\alpha}{2})}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow sin\alpha=\frac{1}{2}[/tex], т.е. [tex]\alpha=30^\circ[/tex].

Втория отговор е : [tex]30^\circ,150^\circ[/tex]

[ева]

Разсъждавах така:2сл.ако MN=[tex]\frac{BD}{2}[/tex] (BD<AC;DM[tex]\bot[/tex]AB,BC[tex]\bot[/tex]DN,т.H-среда на MN)
[tex]\angle[/tex]MDN=[tex]\alpha[/tex]=[tex]\angle[/tex]BAD (взаимноперп.рамене) [tex]\triangle[/tex]MHD е правоъг.- тогава sin(MDH)=[tex]\frac{MH}{MD}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{MN}{2}}{DM}[/tex]=[tex]\frac{BO}{2DM}[/tex]=[tex]\frac{BO}{2a.sin\alpha}[/tex]=[tex]\frac{sin\frac{\alpha}{2}}{2sin\alpha}[/tex] т.е.sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{sin\frac{\alpha}{2}}{2sin\alpha}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex];[tex]\beta[/tex]=150[tex]^\circ[/tex]