Ограничена фунция

[grav]

Нека [tex]g(x)>0[/tex] за всяко [tex]x[/tex] и [tex]f(x)[/tex] удоволетворява

[tex]f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)[/tex]

да се докаже, че [tex]|f(x)|[/tex] е ограничена.

[grav]

Упътване: разгледайте функцията.

[tex]E(x)=f(x)^2+f'(x)^2[/tex]

[drago]

М..да, така става очевидно: $E'(x) = -xg(x)f'(x)^2$. т.е. $E$ е растяща в $(-\infty,0]$ и намаляваща в $0,\infty)$ и значи $E(x)\leq E(0)$, и резултата следва.

Това, което го мислех, макар и не толкова строго(макар, че може да се направи) е следното.
Представете си, че интерпретираме $y(t)$ като отклонение на една точка нагоре надолу по една вертикална права около началото $О$. Да си представим напр. че $t>0$ и нека в момента $t_0>0$ намира в точка $y(t_0)>0$ и скоростта е нагоре, т.е. $y'(t_0)>0$. (Ако допуснем, че $y$ расте неограничено с положителни стойности това винаги ще се случи). В този момент и в следващите $y'' \leq -y$. Т.е ускорението е надолу и по амплитуда по-голямо от отклпнението $y$. Това означава, точката забавя своята скорост нагоре и то все повече, колкото по-нагоре отива и че в някой следващ момент $t_1$ скоростта $y'$ ще стане $0$ и точката ще започне да пада надолу, щото скоростта ще се насочи надолу под влияние на същото отрицателно ускорение(най-голямо в този момент). Като пада надолу от у-нието се вижда, че $y''\geq -y$ , т.е. ускорението , доката пресече $O$ е най-много $y$. Скоростта на точката в момента, когато пресече $O$ e максимална, ако ускорението през цялото време е било $-y$.
Като пресече $O$, ускорението се обръща и скоростта почва да намалява(от у-нието), като $y''\geq -y$ , и тъй като $-y$ вече е положително, ускорението вече е нагоре с амплитуда повече от $-y$.
Това всичко означава, че от най-горна точка $y(t_1)>0$ ще слезем до най-долна точка $y(t_2)<0$ като $|y(t_2)|\leq |y(t_1)|$. Равенството се достига, когато точката се движи по закона $y''=-y$ (осцилира с постоянна амплитуда).
Това означава, че амплитудите на точката ще намаляват все повече(или поне няма да се увеличават), когато $t\to\infty$.

[grav]

Да, това е добра идея, и даже може да не е много по-различна. Функцията [tex]E(x)[/tex] бе трябвало да може да се интерпретира като енергия.

[drago]

Аха, за у-нието $y''+y=0$ , което се интерпретира, като ластик с топче, което осцилира нагоре - надолу, $E$ е константа. В нашия случй $E$ намалява, след старт от начално положение.

[drago]

Като се замисля, тази корекция от дясно на у-нието действа така. Ако я нямаше, както написах, това е у-ние на едно топче, вързано с ластик в т. О, на което му действа силата само на ластика, която е пропорционална на дължината на ластика. ($y''$ е всъщност (пропорционално на) силата на дърпане). Тогава топчето осцилира, наоре - надолу.
Сега, да включим дясната корекция. Това води до отслабване на силата на дърпане, когато топчето се движи към т. $O$ и нарастване на силата, когато топчето се движи в противоположна на $O$ посока, в резултат компрометира амплитудата на топчето. Точно както правим, когато искаме да спрем люлка тип махало.
В резултат, амплитудата на топчето постоянно намалява с течение на времето.

[pipi langstrump]

Да, това е добра идея, и даже може да не е много по-различна. Функцията [tex]E(x)[/tex] бе трябвало да може да се интерпретира като енергия.

Енергията на хармоничен осцилатор е Е=ky^2/2 + mv^2/2

[grav]

Енергията на хармоничен осцилатор е Е=ky^2/2 + mv^2/2

Именно, при [tex]k=1[/tex] и [tex]m=1[/tex], и [tex]v=y'[/tex] е точно горната функция.

[pipi langstrump]

Можем да се опитаме да намерим първия интеграл на уравнението, което става като умножим двете страни с 2f', получава се (f'^2 + f^2)'= -2xgf'^2 и оттука вече, както drago e показал.

[pipi langstrump]

Иначе ако разглеждане уравнението като описващо движение на топче на пружина/ластик, това е такава система, на която действа външна дисипативна сила F =-mt.g(t)v(t) т.е. такава, която забавя движението през цялото време (например сила на въздушно съпротивление), защото винаги е насочена в обратна посока на скоростта.

[drago]

Опс, напомня ми за Остап Бендер, който играл едновременен шах на 20 дъски, на 5 от тях разигравал испанска партия, на 5 - сицилианска защита и т.н., обаче той си нямал хал-хабер за това, щото не разбирал от шах!
Та така, pipi, направо къртиш мивки с това: "външна дисипативна сила". Е,...,човек трябва да е отворен за новите неща, физиката е сериозна наука.

[pipi langstrump]

Ее, не те разбрах какво искаш да кажеш с това.
Ако е за термините, външна сила е тази, която действа на една затворена система, каквато примерно е осцилатора докато вътрешни сили са тези, които действат между частите на системата. Примерно да вземем n топчета, които са свързани с пружини и са сложени във вода и сме им задали някакво движение. Силите, с които топчета се дърпат и бутат посредство пружините са вътрешни, а силите, с които водата им действа са външни. Дисипативна, т.е. разсейваща, е такава сила която намалява енергията. Примерно силите на триене, и на въздушно/водно съпротивление са винаги такива. Познават се по това, че винаги действат срещу скоростта.

[drago]

Ее, не те разбрах какво искаш да кажеш с това.

Нищо повече от това, че не разбирам физика. Проблемът беше математически, но е хубаво човек да види и друга гледна точка.

[drago]

Всъщност, видях я отново другаде. Оказва се, че задачата е давана на Putnam 1997, B2.

[grav]

Интересно колко други задачи от там стават и за училищни състезания.

Задачите от първите състезания достъпни ли са?

[aifC]

https://kskedlaya.org/putnam-archive/

[drago]

Аз предпочитам този източник: https://artofproblemsolving.com/community/c3249_putnam
Има дискусии по решенията и е по-неформално. По мое мнение, много задачи от Putnam стават и за училищни олимпиади. За разлика от тези давани на Miklos Schweitzer.

[grav]

На скоро четох биографията на Неш, в която има много повече информация от филма. Там се споменава, че той е смятал състезанието за добър показател за математическите способности. Което означава, че състезанието е доста старо. Пък и малко ровене из нета показва, че се провежда от края на 30-те години. Интересно ми беше какви са били задачите в началото.

https://en.wikipedia.org/wiki/William_Lowell_Putnam_Mathematical_Competition

Доста известни имена.
https://en.wikipedia.org/wiki/William_Lowell_Putnam_Mathematical_Competition#Putnam_Fellows

[drago]

https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam.html

[drago]

Като гледам първите години, задачите се придържат към учебната програма, няма някакви по-нестандартни неща, които се появяват впоследствие. Ама пък и годината е 1938, нещата не стават изведнъж. Интересно дали в България по това време е имало състезания(за студенти)?
Все пак ето нещо интересно, според мен:

1938) A6. A swimmer is standing at a corner of a square swimming pool. She swims at a fixed speed and runs at a fixed speed (possibly different). No time is taken entering or leaving the pool. What path should she follow to reach the opposite corner of the pool in the shortest possible time?