Рационалност на число

[Davids]

Да се докаже, че едно число $r$ е рационално тогава и само тогава, когато съществуват три различни цели числа $a, b, c$, за които $p+a$, $p+b$, $p + c$ образуват геометрична прогресия.

[S.B.]

Хубаво,ама да беше казал нещо и за p, или поне каква връзка има с r?

[Davids]

Хубаво,ама да беше казал нещо и за p, или поне каква връзка има с r?

Уф, пълен ужас... Кирилицата не се е превключила... Става дума пак за $r$. Условието следва да е така:

Да се докаже, че едно число $p$ е рационално тогава и само тогава, когато съществуват три различни цели числа $a, b, c$, за които $p+a$, $p+b$, $p+c$ образуват геометрична прогресия.

[Петър Евгениев]

Зада бъде рационално число [tex]r[/tex], трябва да може да се запише [tex]r=\frac{цяло}{цяло}[/tex]
[tex](r+b)^{2}=(r+a)(r+c) \Leftrightarrow 2rb+b^{2}-rc-ar-ac=0 \Rightarrow r=\frac{ac-b^{2}}{2b-c-a}[/tex], произведение, разлики , сборове с цели числа, пак си оставят цели [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]r[/tex] е рационално число [tex]\Leftrightarrow r+a; r+b; r+c ;[/tex]- геометрична прогресия.

[Davids]

Зада бъде рационално число [tex]r[/tex], трябва да може да се запише [tex]r=\frac{рационално}{рационално}[/tex]
[tex](r+b)^{2}=(r+a)(r+c) \Leftrightarrow 2rb+b^{2}-rc-ar-ac=0 \Rightarrow r=\frac{ac-b^{2}}{2b-c-a}[/tex], произведение, разлики , сборове с рационални числа, пак си оставят рационални \Rightarrow [tex]r[/tex] е рационално число [tex]\Leftrightarrow r+a; r+b; r+c ;[/tex]- геометрична прогресия.

То това едно на ръка, само че някъде бяга елементът "тогава и само тогава" Задълбочи се

[Петър Евгениев]

Зада бъде рационално число [tex]r[/tex], трябва да може да се запише [tex]r=\frac{рационално}{рационално}[/tex]
[tex](r+b)^{2}=(r+a)(r+c) \Leftrightarrow 2rb+b^{2}-rc-ar-ac=0 \Rightarrow r=\frac{ac-b^{2}}{2b-c-a}[/tex], произведение, разлики , сборове с рационални числа, пак си оставят рационални \Rightarrow [tex]r[/tex] е рационално число [tex]\Leftrightarrow r+a; r+b; r+c ;[/tex]- геометрична прогресия.

То това едно на ръка, само че някъде бяга елементът "тогава и само тогава" Задълбочи се

Нали така изразих [tex]r[/tex], не съм си го измислил това изразяване , нали от това идва тогава и само тогава когато това е геометрична прогресия.

[kmitov]

Според мен си показал, че ако $r+a, r+b, r+c$ e геометрична прогресия и $a,b,c$ са цели, то $r$ е рационално.

Обратното e: Ако $r=p/q$ то да се намерят (или да се докаже съществуване) на числа $a,b,c$ така, че $r+a, r+b, r+c$ e геометрична прогресия не се вижда.

[pal702004]

Според мен си показал, че ако $r+a, r+b, r+c$ e геометрична прогресия и $a,b,c$ са цели, то $r$ е рационално.

Обратното e: Ако $r=p/q$ то да се намерят (или да се докаже съществуване) на числа $a,b,c$ така, че $r+a, r+b, r+c$ e геометрична прогресия не се вижда.

Понеже

$\frac 1 q,\frac 1 q \pm 1,\frac 1 q \pm 2 +q$ образуват геом. прогресия

то и ако ги умножим на $p$ пак ще си е геом. прогрсия.

(Един от многото възможни примери)

[ptj]

[tex]a\ne b\ne c\ne a[/tex]; [tex](p,q)=1[/tex]
[tex](p+b.q)^2=(p+a.q)(p+c.q)[/tex]
[tex]p^2+2b.pq+b^2.q^2=p^2+pq(a+c)+acq^2[/tex]
[tex]p(2b-a-c)=q(ac-b^2)[/tex]

[tex]\frac{p}{q}=\frac{ac-b^2}{2b-a-c}[/tex]

НДУ от условието на задачта е еквивалентно на съществуването на решение в цели числа на горното диофантово уравнение.

[tex]q.b^2-2pb+(ap+cp+acq)=0[/tex]

[tex]b=\frac{p\pm\sqrt{p^2-p(a+c)-acq}}{q}[/tex]

...

[pal702004]

[tex]\frac{p}{q}=\frac{ac-b^2}{2b-a-c}[/tex]

НДУ от условието на задачта е еквивалентно на съществуването на решение в цели числа на горното диофантово уравнение.
...

И то като че ли беше показано:

$a=0, b=\pm p, c=p(q\pm 2)$

(едно от многото, разбира се)

[pal702004]

По общо решение (но не пълно):

$\forall a \in \mathbb{Z}$

$b=pk+a(qk+1)$

$c=pk+b(qk+1)$

$\forall k \in \mathbb{Z}$

[loving_math]

От средно геометрично имаме [tex](r+b)^2=(r+a)((r+c)[/tex]
[tex]r^2+2rb+b^2=r^2+rc+ra+ac[/tex]
[tex]2rb-rc-ra=ac-b^2[/tex]
[tex]ra+rc-2rb=b^2-ac[/tex]
[tex]r(a+c-2b)=b^2-ac[/tex]
Разглеждаме уравнението като пaраметрично.
1 случай:
[tex]a+c-2b=0 <=> a+c=2b[/tex]
[tex]\frac{a+c}{2}=b[/tex]
[tex]a,b,c[/tex] образуват аритметична прогресия
[tex]=>0.r=0[/tex]
Всяко r e решение, но при едно "скрито" условие . Щом трите числа образуват аритметична прогресия, значи [tex]b=a+d; c=a+2d[/tex]
[tex]=> b^2-ac=(a+d)^2-a(a+2d)=a^2+2ad+d^2-a^2-2ad=0[/tex]
[tex]d^2=0 =>d=0= >a=b=c[/tex]
А това противоречи на условието, че трите числа са ралични. Значи отиваме на единствения (тогава и само тогава)случай 2:
[tex]a+c-2b\ne 0[/tex] и [tex]r = \frac{b^2-ac}{a+c-2b}[/tex]
r e рационално

[pal702004]

Въртим се в същия кръг. "Тогава и само тогава...". Доказал си първата част - че ако $r$ е ирационално, не существуват цели $a\ne b\ne c$, удовл. условието и доказателството е повече от елементарно.
Сега остава да докажеш по-трудното(колко да е трудно): За всяко рационално $r$ съществуват цели $a\ne b\ne c$, удвовл. условието.

$\forall r \in \mathbb{Q}\;\; \exists a\ne b\ne c \in \mathbb{Z}:\; (r+b)^2=(r+a)(r+c)$