Четириъгълник

[ева]

В четириъгълника ABCD АВ=[tex]\sqrt{3}[/tex],диагоналът BD=1,[tex]\angle[/tex]ABD=120[tex]^\circ[/tex],[tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]ACD=30[tex]^\circ[/tex].Да се намери ВС.
отг.[tex]\frac{\sqrt{30}}{5}[/tex]

[hvyhg]

Не ми дава да прикачвам снимка. Означаваш <DBC с алфа и изтазяваш ъглите на триъгълниците BCD и ABC с алфа. После изразяваш BC по два начина с две синусови теореми от триъгълниците ABC и BCD, приравняваш ги и намираш на колко е равен <BAC и натам е лесно

[S.B.]

Нека [tex]\angle[/tex]BDC = [tex]\varphi[/tex] и BC = X;
За [tex]\triangle[/tex]BDC : [tex]\frac{X}{sin\varphi}[/tex] = [tex]\frac{BD}{sin60^\circ}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] X = [tex]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex]sin[tex]\varphi[/tex] ; [tex]\angle[/tex]DBC = 180[tex]^\circ[/tex] - (60[tex]^\circ[/tex] + [tex]\varphi[/tex]) или [tex]\angle[/tex]DBC = 120[tex]^\circ[/tex] - [tex]\varphi[/tex]
За [tex]\triangle[/tex]ABC :[tex]\angle[/tex]ABC = 120[tex]^\circ[/tex] + [tex]\angle[/tex]DBC или [tex]\angle[/tex]ABC = 240[tex]^\circ[/tex] - [tex]\varphi[/tex] ; [tex]\angle[/tex]BAC = 180[tex]^\circ[/tex] - (240[tex]^\circ[/tex] -[tex]\varphi[/tex] + 30[tex]^\circ[/tex]) или [tex]\angle[/tex]BAC = -(90[tex]^\circ[/tex]- [tex]\varphi[/tex])
[tex]\frac{BC}{sin[-(90^\circ -\varphi)]}[/tex] = [tex]\frac{AB}{sin30^\circ}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{X}{- cos\varphi}[/tex] = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] от където X= -2[tex]\sqrt{3}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
От [tex]\begin{cases} X = \frac{2\sqrt{3} sin\varphi}{3} \\ X = -2\sqrt{3}cos\varphi \end{cases}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2\sqrt{3}sin\varphi}{3}[/tex] = - 2[tex]\sqrt{3}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex] от където [tex]\frac{sin\varphi}{3}[/tex] = - cos[tex]\varphi[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} sin^{2}\varphi + cos^{2}\varphi = 1 \\ cos\varphi = - \frac{sin\varphi}{3} \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex] + [tex]\frac{sin^{2}\varphi}{9}[/tex] = 1 от където sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex]
X = -2[tex]\sqrt{3}[/tex].cos[tex]\varphi[/tex] и cos[tex]\varphi[/tex] = -[tex]\frac{sin\varphi}{3}[/tex] = - [tex]\frac{3\sqrt{10}}{3.10}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] X= -2[tex]\sqrt{3}[/tex].(-[tex]\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex] )= [tex]\frac{\sqrt{30}}{5}[/tex] или BC= [tex]\frac{\sqrt{30}}{5}[/tex]

[matst]

Нека [tex]K[/tex] е описаната окръжност около [tex]\triangle BCD[/tex].
Нека [tex]B_1[/tex] е втората пресечна точка на [tex]K[/tex] с [tex]AB[/tex].
Нека [tex]C_1[/tex] е втората пресечна точка на [tex]K[/tex] с [tex]AC[/tex].

[tex]\triangle B B_1 D[/tex] е равностранен (т.к. [tex]\angle B=\angle B_1= 60^\circ[/tex].)
и значи [tex]K[/tex] има радиус [tex]R=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex].

[tex]\angle C_1 B B_1=\angle C_1 B D+\angle D B B_1= 30^\circ+60^\circ=90^\circ[/tex].
Следователно, [tex]B_1 C_1=2R[/tex] (т.к това е диаметър в [tex]K[/tex]),
[tex]B C_1=R[/tex] и [tex]\triangle AB C_1[/tex] е правоъгълен.

[tex]A C_1=\sqrt{AB^2+BC_1^2}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}[/tex]
(по теоремата на Питагор за правоъгълния [tex]\triangle AB C_1[/tex])

Сега [tex]BC[/tex] се изчислява от [tex]\frac{BC}{B_1 C_1}=\frac{AB}{A C_1}[/tex]
(т.к. триъгълниците [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle AB_1C_1[/tex] са подобни
по два равни ъгъла: [tex]\angle A[/tex] е общ и [tex]\angle BCA=\angle AB_1 C_1[/tex]).

Така, [tex]BC=\frac{\sqrt{30}}{5}[/tex].