Вписан четириъгълник

[ева]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност К и през пресечната точка Е на диагоналите му е построена права l успоредна на CD,която пресича правата АВ в т.Р.Да се докаже,че отс.РЕ е равна на допирателната РТ към окръжността.

[Davids]

Маркираме $PE x K = т.M$, като М не е между Р и Е.
Означаваме $\angle PEB = x$, тогава връхният му $\angle DEM = x$. Но понеже $PE || CD$, то $\angle CDE = \angle DEM = x$. Но също и $\angle BAC = \overline{BC}:2 = \angle CDE = x$. Щом сме достигнали до това, то вече лесно виждаме, че $\Delta PEB \approx \Delta PAE$, откъдето $\frac{PE}{PA} = \frac{PB}{PE} \Rightarrow PE^2 = PB.PA$
Сега се връщаме на едно специално свойство на допирателната $PT$, според което $PT^2 = PA.PB$ (доказва се с подобие по аналогичен на горния начин). И равенството вече е доказано: $PE = PT$